Primer Ciclo - Nivel Primario

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

    En matemáticas, se dice que un número natural dado aes divisible por otro b si el resto de la división de aentre b es cero.

    Por ejemplo, 12 es divisible por 3, porque 12 : 3 es una división exacta, cuyo cociente es 4 y cuyo resto es 0.

    12 es divisible por 3 porque el resto es 0 (la división es exacta)

    Cuando un número natural aes divisible por otro b, se dice que b es divisor de a.

    3 es divisor de 12 porque 12 es divisible por 3

    Normalmente, los números naturales (salvo los que son muy pequeños) tienen varios divisores. Pensemos por ejemplo en el número 30.

    Sabemos que:

    • Es divisible por 2, porque 30 es un número par

    30 : 2 = 15 (división exacta)

    • Es divisible por 3, porque sus cifras suman 3

    30 : 3 = 10 (división exacta)

    • Es divisible por 5, porque acaba en 0 o 5

    30 : 5 = 6 (división exacta).

    Por tanto, 2, 3 y 5 son divisores de 30.

    Si lo pensamos un poco, veremos que 30 también es divisible por 6, 10 y 15. Finalmente, siempre será divisible por sí mismo, ya que 30 : 30 = 1 es una división exacta. Luego los divisores de 30 son:

    D (30) = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

    De forma semejante, el número 45 tiene también varios divisores:

    • Es divisible por 3, porque sus cifras suman 9

    45 : 3 = 15 (división exacta)

    • Es divisible por 5, porque termina en 5

    45 : 5 = 9 (división exacta)

    • Además, es divisible por 9, 15 y 45 (compruébalo).

    Entonces,los divisores de 45 son:

    D (45) = {3, 5, 9, 15, 45}

    ¿Tienen los números 30 y 45 algún divisor común?

    Revisemos cuáles son sus divisores:

    D (30) = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

    D (45) = {3, 5, 9, 15, 45}

    Hemos señalado en rojo los divisores comunes a 30 y 45, que son el 3, el 5 y el 15.

    ¿Cuál es el máximo común divisor de ambos números?

    La respuesta es el 15, porque es el mayor de los números que son divisores comunes del 30 y el 45.

    Definición:

    Dados dos o más números naturales, el máximo común divisor de dichos números es el mayor de los números que son divisores de todos y cada uno de ellos. Máximo común divisor se abrevia como M.C.D.

    Repasa

    MÁXIMO COMÚN DIVISOR

    • Un número natural dado a es divisible por otro b si el resto de la división de a entre b es cero. Entonces, se dice que b es divisor de a.

    28 ES DIVISIBLE ENTRE 7 PORQUE

    28 : 7 = 4 (división exacta)

    • Dados dos o más números naturales, el máximo común divisor de dichos números es el mayor de los números que son divisores de todos y cada uno de ellos.

    D (30) = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

    D (45) = {3, 5, 9, 15, 45}

    M.C.D = 15

    Practica

    Descubre relaciones

    Entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos números existe una propiedad interesante que los relaciona.

    Consideremos los números 12 y 15.

    El máximo común divisor de dichos números es:

    M.C.D. (12, 15) = 3

    El mínimo común múltiplo de 12 y 15 es 60 (compruébalo).

    m.c.m. (12, 15) = 60

    Ahora, multipliquemos el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor de 12 y 15:

    M.C.D. (12, 15) x m.c.m. (12, 15) = 3 x 60 = 180

    ¿Qué pasa si ahora multiplicamos los números originales, 12 por 15?

    12 x 15 = 180

    No es casualidad que nos haya salido el mismo número. Esta propiedad es universal:

    Esta propiedad puede ayudarte a comprobar si has obtenido la solución correcta cuando calcules el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números.

    Practica con ella.