Primer Ciclo - Nivel Primario

LAS POTENCIAS

Observa la siguiente figura:

¿Cuántos bloques de madera hay en la imagen?

Podemos calcular su número de varias maneras. La primera consiste, simplemente en contarlos: hay 9 bloques. Una segunda forma podría ser multiplicar el número de filas por el de columnas, es decir: 3 x 3, que también son 9 bloques.

Matemáticamente, cuando se multiplica un número por sí mismo, la expresión puede abreviarse escribiéndolo como una potencia. En el ejemplo anterior, es posible expresar la cantidad como:

3 x 3 = 32

La expresión 32 se lee “tres al cuadrado”. El resultado, evidentemente, seguirá siendo 9.

Definición:

EL CUADRADO DE UN NÚMERO ES EL RESULTADO QUE SE OBTIENE AL MULTIPLICAR DICHO NÚMERO POR SÍ MISMO.

Observa ahora el cubo que se muestra a continuación:

¿De cuántas piezas se compone, suponiendo que en el interior también tiene pequeñas piezas cúbicas?

Es evidente que contar las piezas del cubo una por una no resulta práctico. Es preferible aplicar un método abreviado. Como se aprecia en la imagen, el cubo tiene caras formadas por filas de 5 piezas y columnas de 5 piezas. Además, la profundidad del cubo es también de 5 piezas. Entonces, el número de piezas que contiene es:

5 x 5 x 5 = 125 piezas

Esta cantidad se puede expresar también de la siguiente forma:

5 x 5 x 5 = 53

que se lee “cinco al cubo” o “cinco elevado al cubo”.

Definición:

EL CUBO DE UN NÚMERO ES EL RESULTADO QUE SE OBTIENE AL MULTIPLICAR DICHO NÚMERO POR SÍ MISMO TRES VECES.

Si se generaliza el método anterior, puede decirse que una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo un determinado número de veces.

La potencia de un número toma la forma general siguiente:

Algunos ejemplos de potencias, y su lectura, son:

Potencias de base 10

En el manejo de potencias en matemáticas se produce un caso de especial interés cuando la base de la potencia es 10.

Repasemos el significado de las potencias de 10:

Observa:

Una unidad de base 10 equivale a un 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente.

Las potencias de base 10 se utilizan muy a menudo en la ciencia y otros ámbitos de la vida para expresar de forma abreviada cantidades extraordinariamente grandes. Por ejemplo, la distancia media que existe entre la Tierra y el Sol es de 150 millones de kilómetros. Si lo escribimos con todos los ceros, sería:

150.000.000 km

Escrita en forma de potencias de diez, esta cantidad parece más manejable:

15 x 107 km

es decir, 15 seguido de siete ceros. Esta forma de escribir los números se conoce por notación científica.

Descomposición de un número en potencias de base 10

Cualquier número puede expresarse como una descomposición de valores en potencias de base 10.

Observa un ejemplo con el número 478.329:

478.329 = 400.000 + 70.000 + 8.000 + 300 + 20 + 9 =

= 4 x 100.000 + 7 x 10.000 + 8 x 1.000 + 3 x 100 + 2 x 10 + 9 =

= 4 x 105 + 7 x 104 + 8 x 103 + 3 x 102 + 2 x 10 + 9

Raíz cuadrada

Del mismo modo que la división es la operación contraria a la multiplicación, la raíz cuadrada es la operación inversa de la potencia al cuadrado.

Por ejemplo, el cuadrado de 3 es:

3 x 3 = 32 = 9

Entonces se dice que la raíz cuadrada de 9 es igual a 3 y se escribe como:

Definición:

LA RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO ES OTRO NÚMERO QUE, AL ELEVARLO AL CUADRADO, DA EL PRIMERO.

Algunos ejemplos de raíces cuadradas exactas son los siguientes:

¡Procura aprendértelas de memoria!

Te ayudará a la hora de resolver problemas.

Como puede verse a partir de lo anterior, hay muchos números que no tienen raíces cuadradas exactas. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 69 no es exacta, ya que no hay ningún número que multiplicado por sí mismo dé 69. En este caso, se puede calcular la raíz aproximada, y se dice que:

La raíz cuadrada de 69 será un número comprendido entre 8 y 9.

ATENCIÓN

El signo

significa aproximadamente igual a.

Repasa

POTENCIAS Y RAICES CUADRADAS

Una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo un determinado número de veces.

El número que se multiplica se llama base.

El número de veces por el que se multiplica es el exponente.

La raíz cuadrada es la operación inversa.

  • Cuadrado de un número: resultado que se obtiene al multiplicar dicho número por sí mismo.

  • Cubo de un número:: resultado que se obtiene al multiplicar dicho número por sí mismo tres veces.

Recuerda:

Una potencia de base 10 equivale a un 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente.

Practica

Potencias de base 2

Cuando se utilizan potencias en números, las cantidades aumentan de una forma muy rápida. En los libros de historia del ajedrez se cuenta un ejemplo que lo ilustra claramente.

El ajedrez fue inventado en la India hace muchos siglos. Según la leyenda, su inventor intentaba entretener con el juego a un príncipe, quien lo encontró tan interesante que le permitió que formulara un deseo.

El ingenioso inventor del ajedrez reclamó un grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 granos por el segundo, 4 granos por el tercero, 8 granos por el cuarto, y así sucesivamente. Es decir, el doble cada vez.

Al parecer, el príncipe encontró la petición muy poco ambiciosa, y aceptó rápidamente la oferta.

En realidad, desconocía la fuerza de las potencias. Veamos cuántos granos de trigo debería haber entregado al inventor del ajedrez.

A primera vista, el número de granos de trigo no parece excesivo. Pero escribamos los números anteriores en forma de potencia de base 2.

Si sigues rellenando la tercera fila, la cuarta, la quinta, etc., verás el alcance de la petición.

¿Cuál crees que sería el número de granos de trigo que corresponderían a la última casilla del tablero?

Si continúas con la serie, verás que es:

¡¡263!!

263 granos de trigo equivale nada menos que a unos 18,5 trillones de granos. Una cantidad tan descomunal que no hay reino capaz de producirla.

Otro ejemplo interesante del uso de potencias de base 2 se da en el mundo de la informática. En su esencia, los circuitos informáticos están diseñados para producir dos tipos de respuestas: , cuando se cumple una determinada condición; y No, cuando no se cumple. Por ello, los sistemas de memoria informática se calculan siempre como potencias de base 2.

Por ejemplo, 1 kilobyte significa literalmente “mil bytes”, que son unidades de almacenamiento en memoria. Pero en la realidad no son “mil bytes”, como parecería sugerir la expresión, sino “mil veinticuatro bytes”. ¿Por qué? Porque 1.024 es una potencia de base 2.

1.024 = 210

Otras unidades de memoria muy utilizadas en informática son 256, 516, 2.048, 4.096, etc.

¿Adivinas por qué?

Utiliza lo que sabes de potencias de base 2 para responder a esta pregunta.