Ecuaciones exponenciales

    Se llama ecuaciones exponenciales a aquellas en las que la incógnita figura en el exponente de uno o más términos de la ecuación. Fundamentalmente, existen dos clases de estas ecuaciones:

    - Tipo 1: Ecuaciones que son una igualdad entre potencias de la misma base o bien que se pueden reducir a esta situación

    - Tipo 2: Convertibles a ecuaciones algebraicas mediante un cambio de variable.

    Seguidamente se analizará cómo resolver cada uno de estos tipos mediante la ayuda de ejemplos.

    En las ecuaciones del primer tipo, el método utilizado consiste en aplicar las normas de operaciones con potencias a fin de llegar a una expresión del tipo:

    P(x) = Q(x)

    siendo P(x) y Q(x) expresiones algebraicas de la incógnita, x, con lo que se logrará una ecuación, también algebraica, que, resuelta, dará la solución del problema.

    Ejemplo. Resolver la ecuación:

    a(b – x)·x = ax

    Si dos potencias son iguales y sus bases son las mismas, sus exponentes deben ser iguales, luego:

    (b – x)·x = x

    Dividiendo ambos miembros por x, lo que implica la solución x = 0:

    b – x = 1 x = b – 1

    que es la segunda solución de la ecuación.

    Ejemplo. Resolver:

    4(3 – x)· (2 – x) = 1

    Recordando que toda potencia de exponente nulo es igual a la unidad, la ecuación puede escribirse en la forma:

    4(3 – x)· (2 – x) = 40

    Aplicando el mismo razonamiento que en el caso anterior sobre igualdad de potencias:

    (3 – x)·(2 – x) = 0

    En este caso, es inmediato ver que las dos soluciones de la ecuación son:

    x = 3 ; x = 2

    Ejemplo. Resolver la ecuación:

    Dado que 4096 = 212, esta ecuación de puede escribir en la forma:

    x2 – 9x – 24 = 12 x2 – 9x – 36 = 0

    La resolución de esta ecuación de segundo grado da como soluciones:

    x = 12 ; x = - 3

    Por su parte, la resolución de las ecuaciones exponenciales del segundo tipo enunciado comporta la aplicación de los pasos siguientes:

    1. Teniendo en cuenta las reglas de las operaciones con potencias, se escribe la ecuación de forma que sólo aparezca una potencia de la incógnita (la más sencilla posible)

    2. Se realiza un cambio, igualando esa potencia única de la incógnita a una nueva incógnita auxiliar, con los que se obtendrá una ecuación algebraica.

    3. Se resuelve esta ecuación, con lo que se halla la incógnita auxiliar.

    4. Conocida ésta, se sustituye en el cambio verificado en el apartado b, con lo que se determina la incógnita del problema.

    Ejemplo. Resolver:

    La regla para multiplicar potencias de la misma base permite escribir que:

    Con lo que ya sólo figura una potencia de la incógnita (3x). Haciendo:

    3x = y

    La resolución de la ecuación anterior conduce a:

    y = 9 ;

    Deshaciendo el cambio, por una parte:

    Y por otra:

    3x+1 = 2

    Tomando logaritmos en esta igualdad:

    log 3x+1 = log 2 (x + 1) log 3 = log 2 x x = -0,36

    Ejemplo. Resolver:

    52x – 7·5x – 450 = 0

    La ecuación puede escribirse en la forma:

    Haciendo:

    5x = y

    se tiene que:

    y2 – 7y – 450 = 0

    Ecuación que, resuelta, da y = 25 ; y = -18, con lo que:

    5x = y 5x = 25 5x = 52 x = 2

    La otra posibilidad:

    5x = -18

    debe despreciarse, ya que no conduce a solución real alguna.