Ecuaciones logarítmicas

    Se llama ecuaciones logarítmicas a aquellas en las que la incógnita viene afectada por el símbolo log. Su resolución se basa en la equivalencia siguiente:

    Por tanto, el método de resolución es reducir a logaritmo único ambos miembros y prescindir a continuación del símbolo log. Ello se logra aplicando las reglas de operaciones con logaritmos que son:

    Problema 1. Resolver la ecuación:

    log 3x = log 6 + 2 log x

    Solución. Recordando las operaciones con logaritmos:

    Luego:

    3x = 6x2

    Al resolver esta ecuación se obtienen dos soluciones: x = 0 (se desprecia por no ser real el log 0) y x = , que es la correcta.

    Problema 2. Resolver la ecuación:

    Solución. La ecuación puede ser escrita como:

    log 2 + log (11- x2) = 2·log (5 – x)

    Recordando las reglas para operar con logaritmos:

    22 – 2x2 = 25 + x2 – 10 x

    Resolviendo esta ecuación se obtienen las siguientes soluciones:

    A partir de las ecuaciones logarítmicas pueden plantearse problemas en los que sea preciso resolver sistemas de ecuaciones. Fundamentalmente, cabe distinguir dos situaciones en esta clase de sistemas, según que figure o no alguna incógnita en la base de los logaritmos que aparecen en las ecuaciones. Seguidamente se planteará cómo resolver estos sistemas a partir de ejemplos ilustrativos.

    1. La incógnita no figura en la base de los logaritmos. Por ejemplo, supóngase el sistema:

    2 log x – 3 log y = 7

    log x + log y = 1

    El método general consiste en reducir cada ecuación, empleando las normas para operar con logaritmos a la forma:

    log A = log B A = B

    Así pues, en este caso:

    log x2 - log y3 = log 107

    log x + log y = log 10 log (x.y) = log 10

    de donde:

    Despejando x en la segunda ecuación:

    (1)

    Y sustituyendo este valor en la primera ecuación:

    Sustituyendo el valor obtenido de y en (1):

    El sistema también habría podido resolverse tomando como incógnitas log x y log y. Si se adopta esta decisión, aplicando el método de reducción, para lo que se multiplica la segunda ecuación del enunciado por 3, se tendría que:

    2 log x – 3 log y = 7 2 log x – 3 log y = 7

    log x + log y = 1 3 log x + 3 log y = 3

    Sumando estas dos últimas ecuaciones:

    5 log x = 10

    Como log x = 2, sustituyendo este valor:

    2 + log y = 1

    1. La incógnita aparece en la base de los logaritmos. Por ejemplo, considérese el sistema:

    l ogx (y – 18) = 2

    logy (x + 3) =

    En este caso, el método general es aplicar la definición de logaritmo, con lo que:

    de donde:

    Elevando al cuadrado los dos miembros de la segunda ecuación:

    y = x2 + 18

    y = x2 + 9 + 6x

    Igualando ambos valores de y:

    x2 + 18 = x2 + 9 + 6x

    Sustituyendo este valor de x: