Número e

    El número e es la base de los logaritmos neperianos y resulta esencial en el planteamiento de ecuaciones exponenciales. Como tal, es una de las cantidades singulares del mundo de las matemáticas y tiene una amplia utilización en la formulación matemática de los principios físicos.

    Habitualmente definido como:

    el número e es inconmensurable, comprendido entre 2 y 3, y cumple la denominada identidad de Euler, cuya expresión es:

    Son abundantes las implicaciones de este número en diversos fenómenos. En biología, por ejemplo, aparece cuando se estudia el crecimiento de una población de bacterias, siempre que no se introduzcan factores limitantes del mismo, o bien cuando se data un fósil, mediante la técnica del carbono-14, un isótopo radiactivo del carbono. En técnicas forenses aparece en la fórmula que permite determinar el momento de la muerte de una persona.

    El número e aparece también en el estudio de las catenarias. Una catenaria es la línea que adopta un hilo homogéneo y pesado, de longitud invariable, suspendido por sus extremos. Un ejemplo muy conocido de catenaria lo constituye el tendido de cables eléctricos. Pues bien, la mencionada línea tiene por ecuación:

    siendo a la llamada flecha de la catenaria, o distancia desde la horizontal al punto más bajo de la curva.

    Para una mayor simplicidad, en todos los límites siguientes se suprimirá la precisión , con lo cual ésta se dará por sobrentendida.

    El número e tiene las siguientes propiedades:

    1. Si se suma un número real, p, al exponente del término general de su sucesión, la nueva sucesión tiene también por límite el número e. Es decir:

    En efecto:

    1. Si se multiplica el exponente del término general de la sucesión por un número real, p, el límite de la nueva sucesión es igual al número e, elevado a p. Es decir:

    Es fácil comprobar la veracidad de la propiedad, ya que la expresión anterior puede escribirse en la forma:

    1. De igual modo, si se multiplica el numerador de la fracción que aparece en el término general de la sucesión que define al número e por un número real, p, el límite de la nueva sucesión es igual al número e, elevado a p. Por tanto:

    El límite anterior puede también expresarse como:

    Haciendo el cambio:

    y teniendo en cuenta que si , también , si se sustituye en la igualdad anterior:

    Por otra parte, si se intenta hallar:

    se obtendrá como resultado la indeterminación . Esta indeterminación está íntimamente ligada al número e.Siempre que aparezca, y, una vez resuelta, conducirá a un resultado del tipo , siendo k un número real. Obsérvese que, generalizando, si en la expresión anterior el denominador de la fracción coincide con el exponente del paréntesis, el resultado es también el número e. Es decir:

    siendo p un número real.

    Una propiedad importante es la siguiente: si un es una sucesión de límite 1 y vn es otra de límite , se verifica que:

    La comprobación de esta afirmación es sencilla. Si se suma y se resta 1 a un, es decir, si se sustituye un por 1+ un – 1, se tendrá que:

    ya que, por lo dicho en la generalización anterior:

    Esta propiedad permite, de forma práctica, resolver la indeterminación , ya que, cuando ésta aparezca, puede decirse que el resultado del límite que la produce es igual al número e, elevado al límite del producto del exponente del término general de la sucesión por la base del mismo, disminuida en una unidad. Por ejemplo:

    podría calcularse, según lo dicho, del siguiente modo:

    Naturalmente, en todos los límites anteriores , dato que se ha omitido, como es habitual en estos casos, para mayor claridad tipográfica. También se invita al lector a comprobar que, tal y como se ha dicho, la indeterminación planteada por el problema ( ) ha conducido a un resultado del tipo previsto (ek), en el que k ha tomado el valor –21.