Números primos y compuestos

    Por definición, un número primo es aquel que sólo admite como divisores el propio número y la unidad. En el caso de números sencillos (3, 5, 7, 11...) es fácil ver si un número es primo o no, pero la cuestión se complica para números aun relativamente pequeños.

    El primer método para la determinación de números primos fue la llamada criba de Eratóstenes. Supóngase que se quieren conocer los primos existentes entre los 100 primeros naturales. Se escribirán esos números y luego se irán tachando de dos en dos (con lo que se suprimirán los múltiplos de 2), después de tres en tres (con lo que se eliminarán los múltiplos de 3), etc. Al final, los números que queden sin tachar son los primos incluidos en el conjunto considerado.

    El método es laborioso, sobre todo para números algo grandes. Por ello, es más recomendable aplicar la siguiente regla: para determinar si un número es o no primo, se va dividiendo sucesivamente por los primos 2, 3, 5, 7... Si no se obtiene división exacta, se puede afirmar que el número es primo cuando se llegue a un cociente menor o igual que el divisor.

    Por ejemplo, si se desea averiguar si 59 es primo, se dividirá por 2 (cociente 29 y resto 1), por 3 (cociente 19 y resto 2), por 5 (cociente 11 y resto 2), por 7 (cociente 8 y resto 3) y por 11 (cociente 5 y resto 4). Al llegar a este punto, como 5 < 11 (cociente inferior al divisor empleado), puede afirmarse que 59 es primo.

    Como es sabido, todo número compuesto (no primo) puede expresarse como producto de números primos. Supóngase el número natural N, tal que su descomposición en factores primos sea:

    N = ap· bq · …cr

    El número, D (N), de divisores positivos de N viene dado por la fórmula:

    D (N) = (p+1) · (q+1)...(r+1)

    Por ejemplo, como 12 = 22 · 3, su número de divisores será:

    N(12) = (2+1) · (1+1) N(12) = 6

    Efectivamente, los divisores de 12 son los seis números: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Hablamos de divisores positivos, ya que, además de poseer esos seis divisores, 12 es también divisible por -1, -2, -3, -4, -6 y -12.

    Los números que son cuadrado perfecto, es decir, que tienen p, q ... r pares cuentan siempre con un número impar de divisores. En el resto, D(N) es siempre par.

    Un número compuesto se llama perfecto cuando la suma de sus divisores es igual al propio número. Por ejemplo, 6 es un número perfecto, ya que la suma de sus divisores (1, 2 y 3) es igual a 6.

    El primer matemático en ocuparse de los números perfectos fue Euclides, quien descubrió que los cuatro primeros números perfectos (6, 28, 496 y 8128) podían obtenerse a partir de la expresión 2n-1· (2n-1-1), dando a n los valores 2, 3, 5 y 7, respectivamente. El sabio griego demostró que si 2n-1 es primo, se genera un número perfecto par, aunque el recíproco no es cierto, como puso de manifiesto el monje francés Marin Mersenne. No se conocen números perfectos impares pero, si existen, deben ser mayores que 10300.

    La suma de los divisores de N viene dada por la expresión:

    · ...

    La suma de los divisores de N permite clasificar a los números naturales en defectivos o deficientes (cuando S(N) < N) y abundantes (si S(N) > N).

    Por otra parte N y N’ se llaman amigos cuando S(N) = N’ y S(N’) = N. Por ejemplo, son amigos, como es fácilmente comprobable, los números 220 y 284. En la actualidad no se conocen amigos de los que uno sea par y el otro impar, si bien no está demostrada la imposibilidad de su existencia. Todos los números amigos impares son múltiplos de 3, como se puede comprobar, por ejemplo, con la pareja de amigos 12.285 y 14.595.