Números racionales

    Los números racionales, que conforman un conjunto matemático denotado habitualmente por la letra Q, son aquellos susceptibles de expresarse por medio de una fracción del tipo , siendo a y b dos números enteros.

    Seguidamente, se considerará una propiedad de notable interés dentro de este conjunto que permite realizar tres operaciones de máxima utilidad: la reducción de fracciones a igual denominador, la comparación de fracciones y la simplificación de expresiones racionales.

    En primer término, se dice que dos fracciones son equivalentes cuando se verifica que:

    a · d = b · c

    Esta característica también puede enunciarse diciendo que, en dos fracciones equivalentes, el producto de los medios (b y c) es igual al producto de los extremos (a y d).

    La propiedad fundamental de los números racionales afirma que si se multiplican o dividen los dos miembros de una fracción por el mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la primera. Por ejemplo, si se multiplican por 5 los dos miembros de la fracción , se logrará la fracción , la cual es equivalente a la anterior, ya que:

    La reducción de fracciones a igual denominador se verifica hallando, en primer término, el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores de las fracciones que se van a reducir. Ese m.c.m. será el nuevo denominador común.

    Para obtener los correspondientes numeradores de cada fracción, se divide el nuevo denominador entre el antiguo y el resultado, multiplicado por el numerador primitivo, da el nuevo numerador. Por ejemplo, si se quiere reducir a igual denominador las fracciones , se actuaría así:

    • m.c.m. (4,5,3) = 60. Así pues, 60 será el nuevo denominador.

    • Cálculo del primer numerador

    • Cálculo del segundo numerador

    • Cálculo del tercer numerador

    Luego, las fracciones pueden ser sustituidas por , las cuales son equivalentes a las primeras, pero con la característica de que presentan igual denominador. Esta cualidad las hace sumables.

    Otra aplicación interesante de esta propiedad es que permite la comparación de fracciones: a igual denominador, es más grande la fracción de mayor numerador. Por ejemplo, si se hubiera deseado ordenar las fracciones dadas, podría decirse que, dado que en sus reducidas, según lo dicho, se cumple que:

    La ordenación de sus equivalentes lleva a:

    La simplificación de fracciones se verifica dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor (m.c.d.) de ambos términos. Por ejemplo, sea la fracción . Como el m.c.d. (144, 150) = 6, dividiendo los dos términos de la fracción dada por esta cantidad, se obtendrá:

    La fracción lograda es equivalente a la primera , ya que:

    24 · 150 = 25 · 144

    aunque ofrece la ventaja de presentar términos más sencillos.