Problemas de números complejos

    Para facilitar la comprensión y el manejo de los números complejos, se considerará un conjunto de cuestiones relativas a los mismos y representativas de sus aspectos más notables.

    Problema 1: Dado el cociente de complejos , calcular a para que el resultado sea: a) un número real; b) un número imaginario puro.

    Solución:

    Se realiza el cociente indicado:

    a) Si el resultado es un número real, la parte imaginaria debe ser nula, luego:

    b) Si el resultado es imaginario puro, la parte real debe ser nula, luego:

    Problema 2: La suma de dos números complejos es 3 + 2i, la parte real de uno de ellos es 2 y su cociente es imaginario puro. Hallarlos.

    Solución: Sean los números buscados 2 + ai y m + ni. Según el enunciado:

    Es decir:

    y:

    (1)

    Por otra parte:

    debe ser imaginario puro, luego su parte real debe ser nula, por lo que:

    (2)

    Resolviendo el sistema formado por (1) y (2):

    Problema 3: Resolver la ecuación x3 + 1 = 0.

    Solución: Despejando x :

    El número real –1 se expresa como complejo. Como su módulo es 1 y su argumento es 180º, o sea, rd, su valor en forma de Argand es:

    1(cos 180 + i sen 180)

    Por lo que:

    Dando valores a k:

    Así pues, la ecuación tiene una raíz real, que es –1, y dos imaginarias. Obsérvese que siempre el número de soluciones de una ecuación coincide con su grado y que, además, si una ecuación tiene una raíz imaginaria, también tiene como raíz a la conjugada de ésta.

    Problema 4: Escribir en forma de Argand el complejo

    Solución: Recuérdese que las relaciones que ligan a un complejo en forma binómica, a + bi, y al mismo en forma de Argand, r·(cos w + i sen w), son:

    Luego:

    Hay dos ángulos cuya tangente es , que son w = 120º y w = 300º. Como el punto P (1, ), afijo del complejo que se está considerando, está en el 4º cuadrante, el argumento deberá ser 300º, luego la forma de Argand buscada será:

    2(cos 300 + i sen 300)

    Problema 5: El complejo 12 (cos 120 + i sen 120) es el producto de dos complejos, uno de los cuales tiene de módulo 4 y de argumento 30º. Hallar las formas binómicas de esos dos complejos.

    Solución: Uno de ellos es, según el enunciado:

    4·(cos 30 + i sen 30)

    Designando al otro por:

    r·(cos w + i sen w)

    Recordando las reglas para multiplicar complejos en forma de Argand:

    Luego el segundo complejo es:

    3·(cos 90 + i sen 90)

    Teniendo presente el valor del seno y coseno de los ángulos de 30º y 90º, respectivamente, las formas binómicas de ambos complejos serán:

    4·(cos 30 + i sen 30) =

    3·(cos 90 + i sen 90) = 3·(0 + 1·i) = 3i

    Problema 6: Hallar el valor de .

    Solución: Primero se obtiene la expresión de Argand del complejo . Llamando r y w al módulo y al argumento, respectivamente, del complejo:

    Hay dos ángulos cuya tangente es , que son 60º y 240º. Como el afijo del complejo es P (2, 2 ) y este punto está en el primer cuadrante, el ángulo que corresponde es 60º. Por tanto, la operación planteada en el enunciado puede escribirse así:

    Teniendo presente la fórmula de Moivre:

    Si se desea el resultado en forma binómica, teniendo en cuenta los valores respectivos del seno y del coseno de 240º:

    256·(cos 240 + i sen 240) = 256 ( = -128 - 128