Problemas de progresiones aritméticas

    Antes de iniciar la resolución de algunas cuestiones de este tipo, debe decirse que en los problemas de progresiones aritméticas en los que intervienen tres términos suele ser aconsejable tomar éstos como:

    a – d; a; a + d

    Las expresiones anteriores forman una progresión aritmética de razón d indican tres cantidades desconocidas con una sola incógnita y, por su simetría, son de operatoria fácil y ventajosa.

    Problema 1: La suma de tres números en progresión aritmética es 15 y la suma de sus cuadrados es 83. Hallarlos.

    Solución: Sean los tres números buscados:

    a – d, a, a + d

    Según el enunciado:

    a – d + a + a + d = 15

    Pero también:

    Por lo que los números buscados serán, para a = 5 y d = 2

    3, 5, 7

    y, para a = 5 y d = -2:

    7, 5, 3

    Problema 2: En una progresión aritmética de diferencia 3, la suma de sus términos es 2.540, siendo el último término 122. Calcular el número de términos de la sucesión.

    Solución.

    En una progresión aritmética, se sabe que:

    an = a1 + d (n – 1) (1)

    (2)

    Sustituyendo en (1) y (2) los datos del problema:

    (4)

    Resolviendo:

    n = 40 y

    Como el número de términos debe ser entero, la solución es n = 40.

    Problema 3: Una progresión aritmética tiene por primer término 2 y por diferencia 5. Otra progresión aritmética tiene como primer término 50 y como diferencia 3. El término que ocupa el lugar n en ambas es el mismo. Hallar el valor de este término y el lugar que ocupa.

    Solución: El término que ocupa el lugar n en la primera progresión es:

    an = 2 + 5·(n – 1) (1)

    Y el que lo ocupa en la segunda se obtiene como:

    an = 50 + 3·(n – 1) (2)

    Como ambos son iguales:

    2 + 5·(n – 1) = 50 + 3·(n – 1)

    Luego el término en cuestión ocupa el valor 25. Para hallar su valor, sustituyendo en (1) o en (2), ya que ambos son iguales:

    an = 2 + 5·(25 – 1)

    Problema 4: Calcular x para que las expresiones:

    2(x – 1); x2 + 1; 5x + 1

    formen progresión aritmética.

    Solución: En toda progresión aritmética de un número impar de términos, el que ocupa el lugar central es igual a la semisuma de los términos extremos. Así pues, si las expresiones dadas están en progresión aritmética, debe suceder que:

    Resolviendo esta última ecuación, se obtienen los siguientes valores:

    que son los valores de x para los que las expresiones dadas forman progresión aritmética.