Problemas de progresiones geométricas

    Antes de iniciar la resolución de algunas cuestiones de este tipo, debe decirse que en los problemas de progresiones geométricas en los que intervienen tres términos, suele ser aconsejable tomar éstos como:

    Las tres expresiones anteriores están en progresión geométrica de razón r y presentan dos claras ventajas:

    • Permiten expresar tres cantidades desconocidas con sólo dos incógnitas (a y r).

    • Presentan en su conjunto una evidente simetría operatoria, por lo que es fácil que en el transcurso de un problema surjan simplificaciones.

    Problema 1: Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su suma es 65 y su producto 3.375.

    Solución: Sean los tres números buscados:

    Como su producto es 3375:

    · a · a · r = 3.375

    Dado que su suma es 65:

    Resolviendo esta ecuación de segundo grado, se obtiene para r las soluciones r = 3 y r = .

    Tomando la primera posibilidad (a =15 y r = 3), los números buscados son: 5, 15, 45

    Tomando la segunda posibilidad (a = 15 y r = ), los números en cuestión son: 45, 15, 5.

    Problema 2: Determinar los valores de los cuatro ángulos de un cuadrilátero, sabiendo que están en progresión geométrica y que el último es igual a nueve veces el segundo.

    Solución: Sean los ángulos buscados:

    a, a · r, a · r2, a · r3

    Como las suma de los ángulos de un cuadrilátero es siempre 360 grados :

    a + a · r + a · r2 + a · r3 = 360 (1)

    Por la segunda condición del problema:

    a · r3 = 9 a · r

    Sustituyendo este valor en (1):

    a + 3a + 9a + 27a = 360

    Luego, los ángulos buscados son:

    a = 9º ; a · r = 27º ; a · r2 = 81º ; a · r3 = 243º

    Problema 3: Una leyenda cuenta que un soberano hindú, maravillado por la belleza del juego del ajedrez, le ofreció a su inventor el premio que éste deseara. El inventor solicitó que en la primera casilla se le pusiera un grano de trigo, en la segunda dos, en la tercera cuatro y así, doblando en cada casilla los granos de la anterior, se cubrieran las 64 casillas del tablero. El rey no dudó en acceder a la, en principio, modesta petición. Se pregunta:

    1. ¿Cuántos granos de trigo se precisan para satisfacer la demanda del inventor?

    2. Si una hectárea de terreno es capaz de producir 25 Hl de trigo y cada Hl contiene unos 2.000.000 de granos, ¿qué superficie es necesaria para obtener los granos del apartado anterior?

    Solución:

    1. Los granos necesarios serían:

    1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...+ 263

    Es decir, la suma de los términos de una progresión geométrica, en la que a1 = 1, an = 263 y r = 2:

    1. Como una Ha produce 25·2.000.000 = 50.000.000 granos de trigo, la superficie necesaria para producir los anteriores granos será:

    Ha

    Dado que la superficie terrestre es de, aproximadamente, 13.000.000.000 de Ha, de lo anterior se deduce que sería necesaria una extensión 28 veces mayor que la del planeta. Así pues, la al parecer inocente petición del inventor era realmente desaforada.

    Problema 4: Tres números suman 30. Escritos en el orden x, y, z están en progresión aritmética y en el orden x, z, y resultan en progresión geométrica. Hallar su valor.

    Solución: Sean los tres números buscados:

    a – d; a : a + d

    Como su suma es 30:

    a-d + a + a+ d = 30

    Según dice el enunciado, los números:

    10 – d, 10 + d , 10

    están en progresión geométrica, luego el cociente de cada uno de ellos al anterior será la razón, por lo que:

    de donde se obtienen dos valores de d (d = 0 y d = -30). Despreciado el primero (no cumple los datos del problema), los números buscados, en el orden x , y , z, en progresión aritmética, serían:

    10 – (-30), 10, 10 + (-30) = 40, 10, -20

    que, en efecto, forman una progresión aritmética de diferencia –30. Dispuestos en el orden x, z, y serían: 40, -20, 10, con lo que formarían una progresión geométrica de razón -½.