Problemas de radicación

    Seguidamente se contemplarán algunas cuestiones relacionadas con la radicación. En primer lugar, se considerará la llamada propiedad fundamental de la radicación, la cual afirma que si se multiplica o divide el índice de una raíz y el exponente del radicando por un mismo número, el valor de la raíz no se altera. Es decir:

    y

    Esta propiedad tiene dos aplicaciones prácticas importantes: la reducción de radicales a índice común y la simplificación de radicales.

    Para reducir radicales a índice común se halla, en primer lugar, el mínimo común múltiplo de los índices existentes, que será el nuevo índice común. A continuación, para calcular los exponentes de los radicandos se divide en cada radical el índice nuevo entre el primitivo y el resultado se multiplica por el exponente antiguo del radicando, obteniéndose así el nuevo.

    Problema: Reducir a índice común

    Como m.c.m. (6, 3, 4) = 12, ese será el nuevo índice común. Se calcularán ahora, según lo dicho, los nuevos exponentes del radicando:

    Primer radical: 12 : 6 = 2 Nuevo exponente = 2 · 5 = 10

    Segundo radical : 12 : 3 = 4 Nuevo exponente = 4 · 1 = 4

    Tercer radical : 12 : 4 = 3 Nuevo exponente = 3 · 3 = 9

    Luego:

    =

    Con ello se han obtenido tres radicales equivalentes a los dados, pero con el mismo índice. Ello permite, por ejemplo, multiplicarlos. Para simplificar un radical, basta con dividir su índice y el exponente de su radicando por el m.c.d. de ambos.

    Problema: Simplificar

    Como:

    m.c.d. (144, 120) = 24 y como 144 : 24 = 6 y 120 : 24 = 5

    =

    Con lo que se ha obtenido un radical equivalente al primero, pero con los términos más sencillos. La potencia de un radical se calcula mediante la fórmula:

    Otra cuestión importante es la de introducir y extraer factores de un radical.

    Para introducir factores en un radical, basta con situarlos dentro del mismo, pero con sus exponentes multiplicados por el índice del radical.

    Problema: Introducir en el radical los factores existentes fuera de él en la expresión:

    a3· b2·

    Según lo dicho:

    Para extraer factores de un radical, hay que tener presente en primer término que sólo pueden salir del símbolo radical aquellos factores cuyo exponente sea igual o superior al índice de la raíz. Para extraer los factores que cumplan esta condición, se divide su exponente entre el índice de la raíz y, fuera de ella, se coloca el factor elevado al cociente resultante y, dentro de ella, el factor elevado al resto que se haya obtenido.

    Problema: Extraer los factores posibles del radical:

    Los factores extraíbles son a (exponente > 2) y b (exponente > 2). Según lo dicho, como:

    Factor a ......... 3 = 2·1 + 1

    Factor b.......... 5 = 2·2 + 1

    = a·b2·

    Finalmente, ha de considerarse la racionalización de fracciones del tipo . Recuérdese que racionalizar una fracción consiste en obtener otra equivalente, pero que carezca de raíces en el denominador. En este caso, este propósito se logra multiplicando los dos términos de la fracción por .

    Problema: Racionalizar

    Multiplicando numerador y denominador por :

    =

    Si fuera n < p, se debe sacar del radical denominador todos los factores que se pueda. Una vez hecho esto, se estará en el caso anterior.