Problemas del número e

    La primera regla para resolver límites consiste en sustituir la variable de su término general (casi siempre n o x) por el valor a que dicha variable tienda. De esta forma, se llegará al límite buscado o bien (esto es lo más frecuente) a una indeterminación. Cada indeterminación tiene una manera peculiar de resolverse. En este caso, se analizarán límites que conducen a la indeterminación .

    Cuando se esté ante esta indeterminación, debe recordarse que una forma cómoda de resolverla es expresar que el resultado del límite que la produce es igual al número e, elevado al límite del producto del exponente del término general de la sucesión por la base del mismo, disminuida en una unidad.

    En todos los límites que van a aparecer, salvo indicación en contra, se considera que , lo que no se va a expresar para una mayor simplificación de las expresiones.

    Problema 1. Hallar:

    Aplicando la norma dada:

    Problema 2. Hallar:

    El límite se puede expresar también como:

    En este último límite, la indeterminación planteada es , por lo que aplicando la norma expuesta en la nota previa:

    =

    Problema 3. Calcular:

    Si sustituimos n por infinito, según lo dicho al principio, tendríamos que en la base nos aparecería una indeterminación del tipo , la cual hay que resolver antes de sustituir en el exponente. Es decir, es necesario hallar:

    El método para resolver una indeterminación de este tipo es dividir los dos términos de la fracción por la potencia de n de mayor grado que aparezca en toda la fracción, por lo que se tendrá que:

    Para llegar a esta conclusión debe tenerse en cuenta que:

    siendo k cualquier número real distinto de cero, por lo que, en el límite tanto , como son nulos. Del mismo modo, se verifica, si también es k distinto de cero, que:

    En definitiva, deshecha la indeterminación el valor de la base cuando n es la unidad, con lo que la indeterminación que presenta el límite planteado es . Por tanto, aplicando la norma dada en la introducción:

    =

    Este límite, situado en el exponente, vuelve a presentar la indeterminación , por lo que, procediendo de la forma indicada para estas situaciones:

    Por lo que el resultado final será . En resumen:

    =

    Problema 4. Determinar:

    Sustituyendo x por cero y recordando que cos 0 = 1 y sen 0 = 0, tendremos que la indeterminación planteada en este límite es . Aplicando la norma dada en la introducción:

    =

    Como la indeterminación planteada es , aplicando la norma dada en la introducción:

    El límite a resolver plantea la indeterminación , la cual puede ser resuelta aplicando la regla de l’Hôpital, la cual afirma que en estos casos el límite a hallar es igual al límite del cociente de las derivadas de numerador y denominador, con lo que:

    =

    =

    Para llegar a la última igualdad, recuérdese que sen 2x = 2 · sen x · cos x