Geometrías no euclidianas

    Las bases de la geometría comúnmente conocida fueron legadas a la posteridad por el griego Euclides entre los años 300 y 275 a.C., a través de una obra llamada Elementos. Esta obra, probablemente recopilación de otras que se han perdido, se iniciaba con unos postulados, a partir de los cuales se elaboraba una serie de teoremas.

    Entre dichos postulados destaca el quinto que, habitualmente, se enuncia no como tal, sino por una consecuencia del mismo que afirma que por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a ella.

    Como es sabido, un postulado es una proposición indemostrable, pero que no repugna a la razón. Dada esa indemostrabilidad, siempre es posible negar la validez de un postulado. De esta manera, la negación del quinto postulado conduce a las llamadas geometrías no euclidianas. Ya intuidas por Carl Friedrich Gauss, fueron desarrolladas décadas más tarde, en el siglo XIX, por el ruso Nikolái Lobachevski.

    Las conclusiones de Lobachevski, obtenidas también de forma independiente por otros matemáticos, dieron lugar a la primera geometría no euclídea, conocida con el nombre de geometría hiperbólica. Según sus proposiciones, que por un punto se pueden trazar infinitas paralelas a una recta, de tal manera que la suma de los ángulos de un triángulo es inferior a 180º.

    Otra geometría no euclidiana notable fue la geometría de Riemann, que establece el concepto de tensor de curvatura. En su exposición se demuestra que la geometría euclidiana es sólo un caso particular de su teoría.

    Estas geometrías no son meros divertimentos matemáticos. De igual forma que la geometría euclidiana sirvió de base para los desarrollos físicos hasta el siglo XIX, las no euclidianas han encontrado aplicación en numerosos modelos matemáticos útiles para explicar las teorías manejadas por la física contemporánea. Un ejemplo muy conocido es la utilidad de la geometría de Riemann para demostrar la curvatura del espacio-tiempo en la teoría de la relatividad de Albert Einstein.