Números y numeración

«Todo es número», proclamaban en la antigüedad los discípulos del sabio griego Pitágoras. Más de veinte siglos después, aquel lema de las hermandades pitagóricas reverdece como nunca en la realidad corriente. Hoy todo está reglado por cantidades numéricas: la mayor altura de la corteza terrestre (en el Everest, 8.848 m) o su máxima profundidad (en las fosas Marianas del Pacífico, 11.034 m), la población y el producto nacional bruto, las cotizaciones bursátiles y los índices de la audiencia televisiva, el tiempo parcelado al minuto de la jornada diaria o los récords mundiales de atletismo. La ubicuidad del número penetra los intersticios de la vida cotidiana desde la administración y contabilidad de las empresas a la identificación en pasaportes, matrículas automovilísticas o libretas bancarias.

El número es quizá la idea esencial de la matemática, el primer concepto y el más necesario. Sobre su base se sustentan disciplinas como la aritmética, el álgebra y el cálculo. Aportar una definición aceptable de número y entender cómo adquirió el hombre este concepto, en definitiva una idealización de la realidad, son dos cuestiones capitales que han ocupado a buena cantidad de filósofos desde tiempos clásicos. En los últimos dos siglos, muchos investigadores, preocupados por la fundamentación del edificio matemático, han seguido su estela en multitud de variantes y manifestaciones.

Formación del concepto de número

Si es posible un paralelismo entre el ambiente cultural de tiempos prehistóricos y el de los pueblos actuales menos avanzados tecnológicamente cuyo estudio compete a la antropología, todo apunta a que el hombre adquirió el concepto de número, o al menos una cierta idea de él, en una fase muy temprana de su desarrollo intelectual. Los miembros de la especie conocida como Homo sapiens no tardaron mucho en sentir la necesidad de contar, ya fueran los individuos que componían su familia o tribu, las piezas de caza cobradas en la jornada o las herramientas de piedra de las que se servían.

Los expertos suponen que los primitivos medios para contar se basaban en la asociación de colecciones de objetos, reflejando, por ejemplo, el número de elementos de un conjunto mediante el mismo número de piedrecitas, palitos, incisiones o dibujos en una relación uno a uno (biyectiva, en términos matemáticos). Al parecer, en una primera etapa de la evolución humana, el número era más un concepto cualitativo que cuantitativo.

Persisten en la actualidad algunas culturas cuyo lenguaje sólo distingue entre «uno», «dos» y «muchos». En algunos idiomas, estos conceptos se designaban con palabras que reflejaban asociaciones sencillas. Así, por ejemplo, el sumerio antiguo utilizaba para denotar «uno», «dos» y «tres» las mismas palabras que para designar «hombre», «mujer» y «varios», respectivamente.

La construcción del resto de los números corresponde a una etapa más avanzada de desarrollo. Uno de los primeros vestigios de la capacidad del ser humano de numerar las cosas consiste en un bastón de hueso datado en el Paleolítico Medio, hace entre 100.000 y 30.000 años. Descubierto en la localidad de Vestonice, República Checa, posee 55 muestras distribuidas en dos grupos y en series de cinco. Del Paleolítico Superior se han conservado numerosos objetos ornamentales de características similares.

Según los indicios antropológicos, el cómputo pudo complicarse sustancialmente durante el Neolítico con el surgimiento del comercio, que se produjo en paralelo al desarrollo de la agricultura con producción de excedentes. Entonces tuvo lugar la agrupación de unidades, la creación de símbolos y la invención de sistemas de numeración, que alejaron progresivamente los conceptos numéricos de su probable uso sólo para contar.

La necesidad de transmitir información acerca de las cantidades de diversos conjuntos condujo probablemente a la elección de un grupo estándar de figuras representativas, que con mayor frecuencia consistirían en partes del cuerpo humano; por ejemplo, en el caso más usual, los dedos de las manos, que seguirían un orden estricto. Cuando estas partes eran insuficientes, se debió recurrir a haces de palitos, conchas, guijarros, líneas trazadas en el suelo o muescas en cortezas de árboles o en huesos.

Poco tiempo después se desarrolló la costumbre de contar por conjuntos (pares, decenas, docenas, etc.), un primer paso hacia el concepto de número modal que se analizará con más detalle en el siguiente epígrafe. De forma paralela a esta evolución debieron realizarse las primeras operaciones aritméticas, que se resolverían siguiendo una regla sancionada por el uso continuado. Aparecieron así las primeras reglas de cálculo, y como consecuencia, surgiría la necesidad de reflejar gráficamente las cifras. Tal es el origen del número como un concepto abstracto.

Sistemas de numeración

Existe entre los especialistas un consenso para definir número como una entidad abstracta que representa una cantidad como resultado de un proceso de contar o medir. Análogamente, un sistema de numeración se define como el conjunto de símbolos y reglas que permiten construir la totalidad de los números válidos dentro del sistema.

Valores de la numeración jeroglífica egipcia. En cuadrado, notación jeroglífica encontrada en el templo de Karnak para el número 4.622.

Valores de la numeración jeroglífica egipcia. En cuadrado, notación jeroglífica encontrada en el templo de Karnak para el número 4.622.

Así, desde un punto de vista genérico, todos los sistemas de numeración se basan en la representación de los números naturales mediante ciertos símbolos. Denominados números modales, estos símbolos se repiten mediante operaciones regladas para formar el resto de las cantidades, que se dicen números algorítmicos.

Cada sistema de numeración se distingue por tanto por las siguientes características:

  • elección de los números modales,

  • símbolos o caracteres escritos que se asignan a cada número modal,

  • operaciones que conducen a la formación de los números algorítmicos.

La elección de los números modales es una de las peculiaridades más destacadas de los diversos sistemas de numeración. Muchos de estos sistemas son decimales, es decir, utilizan números modales para representar la unidad y las diversas potencias de diez, lo que emula la costumbre de contar con los dedos de las manos.

Sin embargo, no pocas culturas hicieron uso de números modales distintos. Por ejemplo, los antiguos babilonios utilizaban el número sesenta, base del llamado sistema sexagesimal. De él quedan ciertas reminiscencias, como el procedimiento actual de medición del tiempo y de los ángulos en grados, minutos y segundos. Por su parte, los maoríes de Nueva Zelanda empleaban como números modales la unidad y las potencias del 11 y los del sistema de numeración romano eran uno (i), cinco (v), diez (x), cincuenta (l), cien (c), quinientos (d) y mil (m).

Algunos sistemas de numeración representan los números con los mismos símbolos escritos que las letras, por lo que se denominan alfabéticos. Algunos ejemplos son el sistema griego y el romano. Otros emplean símbolos específicos que reciben el nombre de guarismos, como el sistema decimal indo-arábigo que, con escasas modificaciones, se ha universalizado en la actualidad.

Se conocen como sistemas de numeración aditivos aquellos en los que se repiten los números modales tantas veces como sea necesario para representar el número algorítmico que se desea. Si, por ejemplo, se quiere representar la cifra 124 en un sistema aditivo decimal se realiza el cálculo:

y se escribe un guarismo de centenas, dos de decenas y cuatro de unidades. Un ejemplo de este tipo de numeración es el sistema egipcio, en el que los signos de mayor valor se escriben antes que los de valor menor. 

Los sistemas de numeración aditivos, aunque sencillos de planteamiento, presentan el inconveniente de su escasa claridad cuando la cifra que se representa es alta y exige una gran repetición de símbolos. En el antiguo Egipto, un imperio fuertemente centralizado donde el cuerpo de los funcionarios escribas estaba dedicado al cómputo de todo tipo de bienes y riquezas, su empleo se situó en el origen de voluminosos errores de cálculo.

A diferencia de los aditivos, otros sistemas de numeración otorgan a cada guarismo un valor distinto según su colocación en la cifra: por ello se conocen como posicionales. Por ejemplo, en el sistema romano, ix (nueve) representa un número distinto de xi (once), de igual manera que en el sistema decimal arábigo-occidental vigente hoy en día el valor de los dos 5 que se encuentran en la cantidad 1.515 es distinto: uno expresa cinco unidades y el otro, cinco centenas. Muchos sistemas de numeración aditivos son también posicionales, ya que en ellos se guarda un orden en la colocación de cada uno de los guarismos.

La ventaja de los sistemas posicionales reside en que requieren menos signos para representar cifras altas, lo que simplifica enormemente los cálculos matemáticos. No obstante, el total abandono de los sistemas aditivos exige la incorporación de un símbolo que exprese la posición vacía. En occidente este símbolo es el cero, inventado en la India, difundido a partir del siglo viii por el oriente arábigo y conocido en Europa a partir del xii.

El sistema de numeración decimal usado actualmente procede de la India, adaptado por los árabes (indo-arábigo). Por tanto, es decimal y posicional. Es decir, tiene el 10 como base de numeración y el valor de cada guarismo depende de su posición con respecto a los demás.

En general, la expresión de un número xyz en un sistema de numeración de base a sería la siguiente:

Por ejemplo, el número 536 se descompone, en base 10, del modo siguiente:

Numeración romana

Símbolos utilizados en el sistema de numeración maya, que inventó el cero independientemente de la India. El punto representa una unidad y la raya horizontal, cinco unidades.

El influjo del imperio romano en la historia moderna ha sido largo y perdurable. En la actualidad, su prolijo sistema de numeración, poco apto para el cálculo, se conserva testimonialmente para la identificación de los siglos y de las páginas introductorias de un libro o en la enumeración de los puntos de una lista, entre otros usos.

El sistema romano de la época clásica era de tipo aditivo alfabético. En él, las letras del alfabeto latino i, v, x, l, c, d y m designan los números modales según la siguiente equivalencia con el sistema actual: i = 1, v = 5, x = 10, l = 50, c = 100, d = 500 y m = 1.000.

La numeración se rige por las reglas siguientes:

  • La cifra se escribe ordenada de mayor a menor valor, salvo en las excepciones: i, que puede encontrarse antes de v y x; x, a veces antes de l y c, y c, antes de d y m. En todos estos casos, el símbolo anterior resta su valor al símbolo posterior. Por ejemplo,

  • Los símbolos i, x, c y m pueden repetirse hasta tres veces, pero el resto no. Por ejemplo:

  • Una línea horizontal colocada encima de una cifra multiplica su valor por mil:

Sistema binario

Tabla 1. Correspondencia entre números expresados en base decimal y en base binaria.

En la actualidad ha cobrado relevancia creciente el denominado sistema de numeración binario, es decir, el que tiene como base 2. Tal es el sistema empleado en los procedimientos de almacenamiento magnético, como los propios de las modernas computadoras.

En el sistema binario se usan sólo dos caracteres, denotados comúnmente como 0 y 1. Estos caracteres se relacionan con los valores propios de la lógica binaria, es decir, aquellos que responden a situaciones como «sí/no», «abierto/cerrado» o «verdadero/falso». En los sistemas electrónicos de las computadoras, tales valores corresponden a los dos estados identificados como «no activado» y «activado».

El binario es un sistema aditivo y posicional. Además, el valor de los caracteres elementales, 0 y 1, depende de su posición relativa (v. tabla 1.)

Los números binarios se pueden convertir en decimales haciendo la operación de sumar a cada uno la potencia de 2 correspondiente. Por ejemplo, el binario 100100110 corresponde al 294 en la numeración decimal, ya que:

La transformación inversa se realiza dividiendo sucesivamente el número entre 2 y anotando el último cociente y los restos obtenidos en orden contrario. Para el ejemplo anterior:

Se obtiene el número binario 100100110, como era de esperar.