Progresiones aritméticas y geométricas

    El anecdotario de la genial precocidad del matemático Carl Friedrich Gauss cuenta que, en 1787, cuando éste contaba con diez años de edad, el maestro de la escuela a la que acudía en la localidad alemana de Brunswick propuso como ejercicio a los alumnos que realizaran la suma de los cien primeros números naturales. Mientras sus compañeros se afanaban en realizar la suma elemento por elemento, Gauss se dedicó a examinar la sucesión de forma global y encontró un modo de realizar el ejercicio requerido mediante una única operación matemática. Descubrió que la serie en cuestión:

    1 + 2 + 3 + ...+ 98 + 99 + 100

    puede reordenarse como:

    (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51)

    donde cada uno de los paréntesis arroja el mismo resultado, 101. Así, la suma es 101 · 50 = 5.050. Sin saberlo, había descubierto por primera vez el método para realizar la suma de una serie de los términos en una progresión aritmética.

    Sucesiones

    En matemáticas, una sucesión se define como un conjunto de números reales ordenado según una regla definida. Cada elemento de la sucesión se denomina término y se representa por una letra y un subíndice que expresa el lugar que ocupa en la misma. La notación general para referirse a sucesiones de números reales es la siguiente:

    a1, a2, a3, ..., an, ...

    Un ejemplo correspondería a una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2:

    1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...

    En un segundo ejemplo, se forma una sucesión donde cada término es igual al cuadrado de los números naturales, es decir:

    1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

    Las sucesiones de números pueden ser crecientes, como las dos anteriores, o decrecientes, si cada término es siempre menor que el anterior como, por ejemplo:

    14, 10, 6, 2, –2, –6, ...

    Asimismo, se pueden formar sucesiones constantes (por ejemplo, 3, 3, 3, 3, ...) y alternadas (3, –3, 3, –3, 3, –3, ...). Las sucesiones de mayor interés en matemáticas son aquellas que pueden expresarse por medio de una expresión general que permite calcular todos y cada uno de sus términos. Esta expresión se denomina término general de la sucesión y se denota por an.

    De este modo, el primer ejemplo mencionado de sucesión puede construirse por medio de un término general de expresión:

    an = 2n–1

    Al ir sustituyendo el valor de n por los números naturales 1, 2, 3, ..., se obtiene exactamente la secuencia 1, 2, 4, 8, 16, ... Análogamente, la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... tiene como término general:

    an = n2

    Otro ejemplo característico de sucesión es el que propuso, en una lista de problemas singulares, el matemático italiano Leonardo de Pisa. Se trata de un caso de sucesión por recurrencia tal que, partiendo de la pareja de números 1, 1, se construye una serie numérica donde cada término es igual a la suma de los dos anteriores:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

    El calificativo de recurrente aplicado a esta sucesión se explica porque para escribir cada nuevo término es preciso recurrir a los términos anteriores.

    En el estudio de las matemáticas han adquirido particular interés dos tipos de sucesiones denominadas progresiones aritméticas y geométricas. Ambas se expondrán en detalle en los apartados siguientes y permitirán asimismo ofrecer una introducción al concepto de límite de una sucesión.

    Progresiones aritméticas

    Las sucesiones conocidas como progresiones aritméticas se caracterizan por que cada término de las mismas se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. Este número constante recibe el nombre de diferencia de la progresión. De este modo, para construir una progresión aritmética basta con conocer el primer término de la misma y su diferencia.

    Por ejemplo, sea la progresión aritmética que se inicia en el número 4 y tiene como razón 3. La sucesión obtenida sería, por tanto: 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... A partir de estas premisas, dada una progresión aritmética definida genéricamente como:

    a1, a2, a3, …, an

    donde la diferencia que permite pasar de cada término al siguiente es d, resulta relativamente sencillo obtener la expresión matemática de su término general, ya que:

    a2 = a1 + d

    a3 = a2 + d = a1 + 2d

    a4 = a3 + d = a1 + 3d

    ………

    an = a1+ (n – 1)d

    Cuando el valor de la diferencia d es positivo (d > 0), la progresión aritmética es creciente. En cambio, se dice decreciente si la razón d es negativa (d < 0). Aunque en un principio las progresiones aritméticas son sucesiones indefinidas de números, alcanzan un interés especial aquéllas que se limitan al conjunto de sus n primeros términos.

    Suma de los términos de una progresión aritmética

    Dada una progresión aritmética limitada denotada como

    a1, a2, a3, …, an

    existe un procedimiento relativamente sencillo para conocer cuál es el valor de la suma de todos sus términos. Dicha suma vendrá dada por la expresión:

    S = a1 + a2 + a3 + … + an–2+ an–1+ an

    Igualmente, esta misma suma se puede escribir en orden inverso, es decir:

    S = an + an–1 + an–2 + … + a3 + a2 + a1

    Sumando estas dos expresiones por miembros ordenados se obtiene:

    2S = (a1 + an) + (a2 + an–1) + (a3 + an–2) +…+ (an–2 + a3) + (an–1 + a2) + (an + a1)

    Ahora bien, en una progresión aritmética se cumple la propiedad de que la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. Así pues, la expresión anterior puede reducirse a la siguiente:

    2S = (a1 + an) · n

    de donde:

    Progresiones geométricas

    Las progresiones geométricas constituyen un segundo grupo de sucesiones matemáticas de interés especial. Se definen como las sucesiones de números formadas de manera que cada término es igual al término anterior multiplicado por un número constante denominado razón. En este caso, la razón se denota comúnmente por r, de manera que un término an de una progresión geométrica se obtiene como:

    an = an–1 · r

    Cuando el valor de r es mayor que 1 (r > 1), la progresión geométrica es creciente como, por ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (en este caso, r = 2). Si r = 1, la progresión se dice monótona, dado que todos los términos son iguales. En cambio, cuando el valor de r está comprendido entre 0 y 1 (0 < r < 1), la progresión geométrica obtenida es decreciente; por ejemplo, si r = 1/2, la sucesión es:

    En el caso de que la razón sea negativa (r < 0), la progresión geométrica se denomina alternada, pues va «saltando» entre valores negativos y positivos. Tal sucede, por ejemplo, en la sucesión 1, –2, 4, –8, 16, –32, ..., progresión geométrica donde r = –2.

    El término general de la progresión geométrica se obtiene de la siguiente forma:

    a2 = a1 · r; a3 = a2 · r = a1 · r2; a4 = a3 · r = a1 · r3; …; an = a1 · rn–1

    Producto y suma de los términos de una progresión geométrica

    En una progresión geométrica limitada denotada como:

    a1, a2, a3, …, an

    se produce un fenómeno semejante al descrito para las progresiones aritméticas, de manera que el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de dichos extremos. Esta peculiaridad permite obtener una expresión relativamente sencilla del producto de todos los términos de la progresión geométrica limitada:

    Para determinar la suma de los n términos de una progresión geométrica se ha ideado un procedimiento consistente en restar, término a término, la suma y esa misma suma multiplicada por la razón r. Es decir:

    S = a1 + a2 + a3 +…+ an–2+ an–1+ an

    r · S = r · a1 + r · a2 + r · a3 +…+ r ·an–2 + r · an–1 + r · an

    Restando estas dos expresiones se obtiene:

    r · S – S = (r · a1 – a1) + (r · a2 – a2) + (r · a3 – a3) +…(r · an–1– an–1) + (r · an – an)

    Como r · a1 = a2, r · a2 = a3 y así sucesivamente, la mayoría de los términos de la expresión anterior se anulan, y queda como resultado:

    Series matemáticas

    Cuando se suman los términos de una sucesión se obtiene una serie. La suma puede extenderse a un número limitado de términos, con lo cual la serie será finita, o a todos ellos, si se trata de una serie infinita.

    Para representar la suma de términos es usual utilizar la letra griega sigma mayúscula, y la operación que representa se denomina sumatorio. Debajo de esta sigma se indica el orden del primer término desde el que se realiza el sumatorio, y encima se anota el último término al que se extiende la suma. Por ejemplo:

    Las sumas de las progresiones aritméticas y geométricas constituyen casos particulares de series matemáticas.

    Convergencia y límite. El estudio de sucesiones y series de números reales permite plantear una primera aproximación a los conceptos de convergencia y límite. Supóngase, por ejemplo, que se corta por la mitad una cuerda de longitudl, de manera que una de las mitades se echa sobre una mesa y la otra se vuelve a cortar por la mitad. El proceso se repite cuantas veces se desee.

    De forma ideal se puede cortar la cuerda un número infinito de veces, y se obtendría así una sucesión infinita de longitudes. La longitud total de cuerda que queda sobre la mesa cuando se han realizado n cortes es el valor de una serie, dado por:

    Cuanto mayor sea el número de cortes realizados, más se acercará el valor de esta suma a la longitud l total de partida. Se dice entonces que el límite de la serie, cuando n es infinito, es l. Expresado en la notación matemática común:

    Dicho de otro modo, el valor de la serie converge hacia l. En general, las series que se aproximan hacia un número conforme aumenta el número de términos que se suman se denominan convergentes; en caso contrario son divergentes. Cuando una sucesión tiene límite, éste es único.

    El concepto de límite puede definirse así: se dice que una sucesión con término general an converge hacia un límite a cuando n tiende a infinito si para todo número real positivo y arbitrariamente pequeño existe un término de la sucesión que se encuentra más cerca del límite que dicho número. El concepto de límite y convergencia adquiere gran interés en el estudio de las funciones matemáticas y en el análisis y cálculo diferencial.