Logaritmos naturales y neperianos

    Finalizada la Edad Media, la ciencia y la técnica comenzaron a desarrollarse en Europa de forma considerable. Áreas tan dispares como la agrimensura, la navegación, la astronomía y el comercio empezaron a necesitar complejos cálculos trigonométricos realizados con la mayor precisión posible. A menudo se requerían semanas e incluso meses para completar estos cálculos, lo que absorbía buena parte de la producción de técnicos y científicos.

    En este contexto, la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII ofreció una de las mejores herramientas de cálculo de que se ha dotado el ser humano hasta la llegada de la calculadora electrónica. El inglés John Napier, también conocido como John Neper, un científico que demostró un interés en la matemática sólo secundario, fue el primero en aprovechar el uso de la notación científica como un medio de simplificar tales cálculos. Napier elaboró un método de calcular exponentes fraccionales para los números, y llamó logaritmos a estos exponentes.

    Poco tiempo después, el matemático inglés Henry Briggs simplificó la técnica de Napier y construyó unas tablas de logaritmos con una precisión de diez cifras decimales, suficientes para la mayor parte de los cálculos de su época. Con las tablas de logaritmos, las operaciones numéricas necesarias en la ciencia y la técnica se hicieron mucho más sencillas. Tanto es así que un físico ilustre, el francés Pierre Simon de Laplace, llegó a decir que «con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos».

    Exponenciación

    En su esencia última, los logaritmos constituyen un artificio que permite simplificar los cálculos de la técnica y la ciencia y la expresión de las ideas matemáticas del análisis y el cálculo. Facilitan una reducción simbólica en las fórmulas y ecuaciones, que tiene un notable interés práctico dentro de los propios desarrollos de las matemáticas.

    La invención de los logaritmos debida a Napier se enmarca en una corriente de simplificación de las expresiones matemáticas exigida por la creciente complejidad de esta disciplina. Antes de proceder a su definición formal, conviene repasar los fundamentos de la notación científica que, con el uso de exponentes, supuso un paso previo y necesario para dicha invención. No en vano, un logaritmo puede entenderse intuitivamente como la operación inversa a la exponenciación o elevación de una cantidad a un cierto exponente.

    La exponenciación, también llamada potenciación, es una multiplicación de varios factores iguales. Dentro de la nomenclatura de la exponenciación cabe diferenciar dos partes: la base, que es el factor en cuestión, y el exponente, o número de veces que se multiplica dicho factor. El exponente se denota como un superíndice.

    Así, por ejemplo, la multiplicación del número 2 por sí mismo cuatro veces puede escribirse de varias formas alternativas:

    2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16

    La potenciación o exponenciación se rige por una serie de propiedades que tienen también gran interés en el estudio de los logaritmos. Especialmente interesantes son las expresiones de las potencias de base 10, en las que se inspira la notación científica. Esta notación permite expresar, por ejemplo, 100.000 como 105 o 0,003 como 3 · 10–3. Además de mucho más breve, la notación científica posee gran utilidad. Por una parte, simplifica la escritura de números muy grandes y reduce la multiplicación y la división de cantidades a la adición o sustracción de exponentes. Por ejemplo, aplicando las reglas de la potenciación, el producto de un millón (1.000.000 = 106) por cien millones (100.000.000 = 109) puede realizarse como 106 · 109 = 1015.

    Asimismo, esta notación permite realizar con facilidad operaciones como elevar una cantidad a una potencia dada y extraer raíces. Por ejemplo, la raíz cúbica de un millón es (106)1/3 = 102 = 100. Sin embargo, pocos números pueden escribirse en forma exponencial de manera sencilla. ¿Cómo se expresa en forma exponencial un número cualquiera, como 111? Para responder a esta cuestión conviene adentrarse antes en la noción de logaritmo.

    El concepto de logaritmo

    El vocablo logaritmo fue acuñado por John Napier y significa, por sus étimos griegos, «número que indica una proporción». Intuitivamente, puede comprenderse como la operación inversa a la exponenciación o potenciación, es decir, la que permite determinar el valor de un exponente conociendo la base y el resultado de la operación de potenciación.

    Para el concepto de logaritmo se recurre comúnmente a la siguiente definición formal: dados dos números reales positivos a y x, tal que a es positivo y distinto de la unidad, se denomina logaritmo en base ade x, y se representa como loga x, al número y al que hay que elevar a para obtener x. Matemáticamente:

    loga x = y ay = x

    En esta equivalencia se visualiza claramente que la operación logaritmo es inversa de la exponenciación. El número x es llamado antilogaritmo de y en base a y se representa como:

    x = antiloga y

    A modo de ejemplo, dado que 43 = 64, se tienen las siguientes relaciones: log4 64 = 3, antilog4 3 = 64. Por sus características, la función matemática y = loga x es monótona creciente.

    Cuando la base es el número 10, los logaritmos se conocen como decimales, de Briggs o comunes. Es común en este caso omitir la base en la notación, de manera que, por ejemplo:

    log10 1.000 = log1.000 = 3 103 = 1.000

    log10 0,01 = log0,01 = –2 10–2 = 0,01

    Los logaritmos en base 2 encuentran también un amplio campo de aplicación, sobre todo con el desarrollo de la tecnología digital. En este caso, sin embargo, es imperativo indicar la base en la notación:

    log2 64 = 6 26 = 64

    Finalmente, otro caso de interés es el relativo a los logaritmos naturales o neperianos, así llamados en honor a John Napier. En estos logaritmos la base es el número irracional e, cuyo valor aproximado es e = 2, 71828182854.... Este número aparece a menudo en las teorías matemáticas y físicas, en particular para la modelización formal de los fenómenos periódicos. Los logaritmos neperianos se denotan corrientemente por el símbolo especial ln. Es decir:

    loge a = ln a

    Tradicionalmente, para el cálculo de logaritmos se utilizaban unas prolijas tablas logarítmicas. En la actualidad, el empleo extenso de calculadoras y computadoras ha evitado su uso un tanto tedioso.

    Propiedades de los logaritmos

    Los logaritmos poseen una utilidad práctica muy extensa, a veces relacionada con ciertos aspectos de la respuesta de la percepción humana. Por ejemplo, la medida de la intensidad de los fenómenos sísmicos se mide en una representación de naturaleza logarítmica, como es la escala de Richter. También sucede con la medición de las sensaciones acústicas. La intensidad sonora se expresa en decibelios, cuyo valor viene dado asimismo por una relación logarítmica.

    No se trata, por tanto, de meras entelequias matemáticas abstractas, sino que los logaritmos poseen una aplicación práctica indudable en múltiples aspectos de la ciencia e incluso de la tecnología cotidiana. En este sentido, el estudio de sus propiedades se simplifica por su condición de operación inversa de la exponenciación, como cabrá apreciar seguidamente.

    Así, dadas las relaciones loga b = x y loga c = y, se tiene ax = b y ay = c. Multiplicando ambas expresiones,

    ax · ay = ax+y = b · c

    Utilizando la definición de logaritmo:

    x + y = loga (b · c)

    De ello se obtiene que el logaritmo del producto de dos números en una cierta base es igual a la suma de sus logaritmos en esa base. Por tanto:

    loga (b · c) = loga b + loga c

    Por una demostración análoga se deduce que el logaritmo del cociente entre dos números en una base dada es igual a la resta de sus logaritmos:

    Otra relación muy útil en la operación con logaritmos es la que permite descomponer potencias en productos: el logaritmo en una cierta base de un número elevado a un exponente es igual al producto del exponente por el logaritmo del número en esa base. Es decir:

    loga bn = n · loga b

    Análogamente, el logaritmo de una raíz enésima se simplifica como:

    Las igualdades anteriores expresadas como propiedades de logaritmos se conocen genéricamente como leyes de los exponentes y presentan una amplia utilidad práctica en la simplificación de los cálculos en matemáticas y otras disciplinas.

    Cambios de base

    En el cálculo numérico de los valores de los logaritmos, la introducción de la calculadora supuso un importante avance que hizo innecesario el uso de las largas tablas logarítmicas. No obstante, tanto en estas tablas como en la calculadora es corriente obtener directamente tan sólo los resultados de los logaritmos expresados en bases 10 (decimales) o e (neperianos o naturales).

    Para determinar, por tanto, valores de logaritmos en bases distintas a las dos anteriores es preciso recurrir a las técnicas de cambio de base. A modo de ejemplo, piénsese en el valor log75. Este logaritmo puede descomponerse de la manera siguiente:

    log75 = x 7x = 5

    Tomando logaritmos decimales en los dos miembros de la segunda igualdad:

    log7x = log5 x log7 = log5 x =

    Los valores de la última expresión se encuentran fácilmente en cualquier tabla o en la calculadora. La operación anterior de cambio de base puede expresarse de forma general como:

    Un caso especial de cambio de base se produce cuando c y b son iguales. En tal caso: