El número e

    Leonhard Euler, nacido en Suiza y viajero incansable a lo largo de su vida, pasa por ser el matemático más prolífico de la historia. Su talento extraordinario y su incansable curiosidad le llevaron desde las enseñanzas de un gran maestro de las matemáticas, Jean Bernoulli, a indagar en el cada vez más extenso territorio de estas ciencias que se abría ante su mirada.

    El nombre de Euler aparece actualmente asociado a una infinidad de teoremas, principios, leyes y teorías en numerosas disciplinas. Del análisis matemático a la física de fluidos o la mecánica, la ingeniería y la arquitectura, el electromagnetismo o la matemática pura, numerosas fórmulas rinden tributo al trabajo realizado por este hombre genial a lo largo de todo el siglo XVIII. No extraña, por tanto, que de su inmensa creatividad surgiera la que ha sido llamada ecuación más bella de las matemáticas. Es la siguiente:

    e = –1

    En esta sencilla formulación intervienen la unidad y tres de los números más misteriosos de esta ciencia: , que guarda el secreto de la imposible cuadratura del círculo; i, la unidad de los números imaginarios, y e, base de los logaritmos naturales o neperianos que es objeto específico de estudio aquí.

    Definición y significado del número e

    El número e es uno de los más importantes en las matemáticas corrientes. Surgió históricamente en el marco del estudio de los límites de las sucesiones numéricas y pronto se descubrieron sus propiedades singulares que le reservaron un espacio muy importante dentro de las matemáticas puras y aplicadas.

    Este número es irracional, dado que posee infinitos decimales no periódicos, y trascendente, por lo cual no puede obtenerse como solución de ningún polinomio cuyos coeficientes sean números racionales. Su valor, ilimitado por tratarse de un número irracional, es:

    e = 2,7182818285459045235360

    Para el número e se ha dado la siguiente definición matemática clásica:

    Otra definición alternativa del número e se expresa en forma de una serie, del modo siguiente:

    La expresión n! se lee como factorial de n. La definición de factorial es sencilla:

    n! = n · ( n – 1) · ( n – 2) … · 2 · 1

    Es decir, se calcula como el producto de un número natural por todos y cada uno de los números naturales inferiores a él hasta llegar a 1. Como caso singular, se define por convención que el factorial de 0 es igual a la unidad: 0! = 1.

    Esta constante fue descubierta en los inicios del siglo XVII, aunque aún no se le dio nombre propio, por su aparición recurrente en los cálculos de las progresivamente elaboradas teorías matemáticas. Se atribuye a Euler el uso de la notación e para referirse a ella, y se ha conjeturado incluso que eligió este nombre por tratarse de la inicial de su apellido. No obstante, la modestia innata de Euler parece desacreditar esta idea, de forma que tal vez aluda más bien a su relación con las llamadas funciones exponenciales.

    La función exponencial y el crecimiento

    El estudio de funciones no es el objetivo de este tema. No obstante, por su singularidad, merece la pena hacer a continuación una breve referencia a la denominada función exponencial. Esta función se define del modo siguiente:

    f(x) = a x

    Es decir, se obtiene asignando a cada valor de una variable x el valor del número a elevado a dicha variable. Dentro de esta familia cobra particular interés, por sus múltiples aplicaciones en la ciencia y la tecnología, la función exponencial:

    f(x) = e x

    Esta función posee una propiedad muy especial, dado que es la única para la que el valor de su derivada es ella misma. Además, su presencia en la naturaleza es muy abundante, hasta el punto de que e ha sido calificado en ocasiones de «número mágico del crecimiento».

    Por ejemplo, se ha constatado que en numerosos procesos biológicos el crecimiento de los organismos sigue un ritmo exponencial. En los cultivos biológicos marcados por esta cualidad, si se denota por y 0el número inicial de células y por r la velocidad intrínseca de crecimiento, se tiene que la cantidad de células y en un momento dado cualquiera viene dada por la expresión:

    y = y 0 e rt

    Esta pauta exponencial define asimismo, aproximadamente, el ritmo del crecimiento de la población humana.        

    Las funciones exponenciales tienen un uso extenso en otros muchos aspectos de la vida cotidiana. Se emplean, por ejemplo, en la determinación del interés continuo en matemática financiera. Por ejemplo, si se invierte un capital inicial C a un interés anual r expresado en tanto por uno durante n periodos anuales en el transcurso de t años, el capital acumulado al vencimiento A viene dado por la fórmula:

    Cuando el valor de los periodos anuales crece indefinidamente, esto es, tiende a infinito, el tipo de interés se denomina continuo, pues los intereses se acumulan en cada instante a lo largo del periodo. En este caso, el capital acumulado se expresa por medio de una función de tipo exponencial relacionada con el número e:

    A = C · e rt

    De igual manera, algunos fenómenos naturales se rigen por un ritmo de decrecimiento de tipo exponencial. Tal sucede, por ejemplo, con los procesos de desintegración radiactiva, como el del isótopo del carbono 14 que se emplea en la datación de las muestras encontradas en arqueología y paleontología.

    RT131_F01.JPG

    En los estudios de población se ha observado que el crecimiento demográfico mundial obedece a una ley de tipo exponencial. En la imagen, la curva exponencial (a) refleja el crecimiento del número de individuos respecto al tiempo; la curva (b) reflejaría el ritmo de este crecimiento si siguiera una tendencia de progresión aritmética.

    Cuando un ser vivo muere, la cantidad de este isótopo de carbono 14 (o de otras muestras radiactivas) presente en su organismo va disminuyendo muy lentamente con el transcurso del tiempo. Concretamente, la desintegración de estos átomos sigue la fórmula general:

    Q = Q 0 · e 0,000124· t

    donde Q es la cantidad final de dicho isótopo, Q 0 es su cantidad inicial y t el tiempo transcurrido. Esta función exponencial negativa, donde la cantidad final desciende muy rápidamente al principio y después sigue un ritmo de desaparición mucho más lento (v. figura 2), sirve para determinar el tiempo transcurrido entre la muerte del organismo y el momento de su estudio por el investigador. Para ello basta saber que el carbono 14 tarda en reducir su cantidad a la mitad (vida media del isótopo) unos 5.568 años.

    Aplicaciones prácticas

    RT131_F02.JPG

    Forma general de una curva exponencial con A < 1.

    Hay otras muchas cuestiones matemáticas y físicas en las que aparece el número e. Una muestra de ello se encuentra en el estudio de la función que expresa la proporcionalidad inversa, de profusa aparición en el estudio de diversos problemas, de los que puede ser ejemplo la ley de Boyle-Mariotte. Dicha ley afirma que, si se designa a la presión de un gas a una cierta temperatura por x y al volumen que ocupa, a la misma temperatura, por y, se cumple que:

    x · y = k

    siendo k una constante, es decir, un número real. La representación gráfica de este principio es una cónica, llamada hipérbola equilátera (v. figura 3).

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    Representación gráfica de la ley de Boyle-Mariotte.

    En definitiva, lo que se afirma es que, a temperatura constante, los volúmenes ocupados por una misma masa gaseosa son inversamente proporcionales a las presiones que soportan. Si se considera el recinto limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 1 y x = e, se obtiene que la superficie de dicho recinto es, precisamente, el número e.

    El número e aparece también en el cálculo de probabilidades. Se imagina el conjunto A, formado por 9.000 hombres casados, a los que se identifica por sus número de identificación personal o de cédula censal y el conjunto B, constituido por sus 9.000 respectivas esposas, a las que también se identifica por el mismo procedimiento. Si se toman dos urnas y se introducen, en una y otra, respectivamente, unas papeletas con los números identificativos de dichos hombres y mujeres, a continuación se puede extraer simultáneamente de cada urna una papeleta. En estas condiciones, designando por X la probabilidad de que a la papeleta de ningún hombre le corresponda la de su propia esposa (lógicamente igual a la que se plantearía si consideramos la situación inversa) dicha probabilidad es, muy aproximadamente:

    El grado de cercanía del valor de la probabilidad así calculada al valor exacto es tanto mayor cuanto más grande sea el número de individuos a considerar.