Ecuaciones de grado superior

    En el transcurso de muchos problemas aparecen ecuaciones de grado superior al tercero que es necesario resolver. Seguidamente se analizarán estos casos, recordando que una ecuación polinómica puede tener:

    • Raíces enteras

    • Raíces fraccionarias

    • Raíces irracionales

    • Raíces complejas

    Se considerarán únicamente los dos primeros casos.

    Además, también debe recordarse que:

    1. Toda ecuación de grado n, con coeficientes reales, posee n soluciones (reales o complejas).

    2. Si una ecuación con coeficientes reales admite la solución compleja a + bi, admite también su conjugada, abi.

    Por otra parte, dada:

    a0 xn + a1 xn-1+ a2xn-2+....+an = 0

    de sus n soluciones, x1, x2, ..., xn, puede suceder que p de ellas sean iguales. Es decir:

    Con lo que se dice que t es una raíz múltiple de orden p.

    Dependiendo de sus raíces, la ecuación anterior puede escribirse en la forma:

    a0 (xx1). (xx2).(xx3)…(x - xn) = 0

    Cálculo de raíces enteras. Dada la ecuación polinómica P(x) = 0, la investigación de sus raíces enteras debe hacerse de acuerdo con estas dos condiciones:

    1. Si P(0) y P(1) son números impares, la ecuación no tiene raíces enteras.

    2. Si un entero, t, es solución de P(x), debe ser divisor de su término independiente. Además, t – 1 debe ser divisor de P(1) y t – 1 debe ser divisor de P(-1).

    Una vez halladas una o más raíces enteras, éstas pueden separarse por la regla de Ruffini, con lo que, sucesivamente, se irán obteniendo ecuaciones más sencillas.

    Problema. Resolver:

    x4 – 2 x3 – 5 x2 + 6x = 0

    Solución. Sacando x factor común:

    x(x3 – 2 x2 – 5x + 6) = 0

    Si el producto de dos expresiones es cero, una de ellas debe ser cero, luego: x = 0, lo que da una solución y:

    x3 – 2 x2 – 5x + 6 = 0

    Las posibles soluciones enteras de ésta son los divisores de 6 ( ). Dado que P(0) = 6, P(1) = 0, la ecuación puede tener raíces enteras. Además, como P(1) = 0, x = 1 es solución de la ecuación. Separándola por Ruffini:

    1 - 2 - 5 6

    1 1 - 1 - 6

    1 - 1 - 6 0

    Lo que conduce a la ecuación de segundo grado:

    x2x – 6 = 0

    que proporciona las raíces:

    x = 3 ; x – 2

    que, junto a las halladas x = 0 y x = 1, totalizan las cuatro soluciones de la ecuación propuesta.

    Cálculo de raíces fraccionarias. Para determinarlas, en el caso de que existan, deben aplicarse estas dos proposiciones:

    1. Si (fracción irreducible) es una raíz de P(x) = 0, p debe ser divisor del término independiente y q debe ser divisor del coeficiente del término de mayor grado.

    2. Si (fracción irreducible) es raíz de P(x) = 0, entonces q – p es divisor de P(1) y q + p es divisor de P(-1).

    Problema. Resolver:

    24 x3 – 26 x2 + 9x – 1 = 0

    Solución. Como P(1) = 6 y P(-1) = - 60 y los divisores del término independiente y del coeficiente del término de mayor grado son, respectivamente:

    se tendrá que, aplicando los criterios anteriores, el valor puede ser raíz. Para probarlo se aplica la regla de Ruffini:

    24 - 26 9 - 1

    12 - 7 1

    24 - 14 2 0

    Luego, efectivamente x = es solución. Apartada ésta, se obtiene:

    24x2 – 14x + 2 = 0 12x2 – 7x + 1 = 0

    que, resuelta, proporciona las raíces:

    Estas raíces, junto con la hallada anteriormente, son las tres soluciones de la ecuación propuesta.