Problemas de matrices

    Brevemente, debe recordarse que:

    • Si dos matrices son iguales, sus elementos homólogos deben ser iguales. Es decir:

    A = B

    • Para multiplicar un escalar por una matriz, se multiplica dicho escalar por cada elemento de la matriz.

    • La suma algebraica de varias matrices es igual a otra matriz, cuyos términos son la suma algebraica de los términos homólogos de esas matrices. Sólo son sumables matrices de las mismas dimensiones.

    • El producto de dos matrices (de dimensiones n x m y m x p, respectivamente), A y B, es otra matriz, C, tal que:

    cij = ai1· b1j + a12 · b2j + ... + aim· bmj

    Problema 1. Dadas las matrices:

    hallar una matriz, X, tal que:

    3 A – 4 X = B

    Solución. La matriz buscada debe ser de dimensiones 2 x 2. Sea:

    Entonces debe cumplirse que:

    Operando:

    La igualdad anterior implica que:

    1 2 – 4 a = 12

    3 – 4 b = -9

    -6 - 4 c = - 10

    15 – 4 d = 7

    Resolviendo el sistema:

    a = 0 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 2

    Con lo que la matriz buscada es:

    Problema 2. Dada la matriz:

    resolver la ecuación:

    A2 + x · A + y · I = 0

    Solución. Como:

    A2 =

    Operando:

    A2 =

    Y como :

    I =

    Ya que esta matriz unidad debe ser también de dimensiones 2 x 2 para poder ser sumable con A2 y con A. Sustituyendo en la ecuación a resolver:

    Operando:

    De donde se deduce que:

    13 + 3x + y = 0

    12 + 2x = 0

    12 + 2x = 0

    13 + 3x+ y = 0

    Resolviendo:

    x = - 6 ; y = 5

    Problema 3. Hallar, si existe, la matriz inversa de:

    Solución. La condición necesaria y suficiente para que exista A-1 es que . Se comprueba del modo siguiente:

    Luego existe matriz inversa de la dada. Hallemos los adjuntos de cada elemento:

    A11 = ; A12 = - ; A13=

    A21 = ; A22 = ; A23= -

    A31= ; A32= - ; A33 =

    La matriz inversa de la A es:

    A-1 =

    Luego, en este caso:

    A-1 =

    P roblema 4. Resolver el sistema:

    3 A + 2 B =

    A – B =

    Multiplicando los dos miembros de la segunda ecuación por 2, a fin de igualar los coeficientes de B:

    3 A + 2 B =

    2 A – 2 B =

    Sumando ambas ecuaciones:

    5 A =

    de donde:

    A =

    Sustituyendo este valor hallado de A en la segunda ecuación del sistema:

    Luego:

    B =