Distribución binomial

    Supóngase un suceso aleatorio, S, en el que se ha verificado n pruebas. Si se llama p a la probabilidad de que aparezca S,la probabilidad de que no se dé S es:

    q = 1 – p

    Designando por Sr el suceso consistente en que se verifique S enr ocasiones y, en consecuencia, que no se verifique S en las n – r veces restantes, la probabilidad de Sr viene dada por la fórmula:

    P(Sr) = pr · qn-r

    Esta expresión recibe el nombre de fórmula de la probabilidad binomial o de Bernoulli.

    En general, la relación que liga a p y q, probabilidades, como se ha dicho, de que se verifique el suceso S o bien su complementario es el desarrollo del binomio de Newton, tomando a p y q como elementos del mismo y a n como exponente. Es decir:

    (p + q)n = + pn-1 q + pn-2 q2 + .....+ p0 qn

    Con ello, la fórmula de Bernoulli no es sino la expresión del término enésimo de este desarrollo.

    La distribución binomial es de máximo interés cuando se conoce la probabilidad de que severifique un fenómeno, un hecho que se da muy frecuentemente, sobre todo en procesos biológicos. Genéricamente, una distribución binomial, en la que se han realizado n pruebas y en la que p es la probabilidad de que se verifique S, se representa por B(n,p). Su media y su desviación típica son, respectivamente:

    n · p; (siendo q = 1 – p)

    Finalmente, debe decirse que la distribución binomial se aproxima a la normal, siendo esa aproximación tanto mayor, cuanto mayor sea el producto n · p o bien n · q (si q < p). Cuando n · p > 3 o, en su lugar, n · q > 3, hay un buen grado de aproximación, la cual resulta casi exacta si los productos anteriores son mayores que 5.

    Problema 1. Una pareja decide tener cuatro hijos.

    1. ¿Qué probabilidad hay de que todos sean mujeres?

    2. ¿Y de que haya al menos un varón?

    3. En una ciudad que tiene 8.000 familias, ¿en cuántas se dará la situación primera? ¿Y en cuántas la segunda?

    Solución. Sea v al suceso de que un hijo sea varón y m al suceso de que sea mujer, es decir al suceso contrario. La probabilidad de tener un hijo varón es:

    P(v) = p = P(v) = 0,5

    Lógicamente, la probabilidad de que el hijo sea mujer, suceso complementario al de ser hombre, será:

    P(m) = 1 – P(v) P(m) = 1 – 0,5 q = 0,5

    Aplicando la fórmula de Bernoulli y llamando p = P(v)yq = P(m):

    1. Probabilidad de que todos los hijos sean mujeres:

    P(4 m) = p0 · q4

    Es decir:

    P(4 m) = (0,5)0 · (0,5)4 P(4 m) =

    1. Probabilidad de que haya al menos un varón:

    P(1 v y 3m) = p0 q4

    P(1 v y 3 m) = p1 q3 P(1 v y 3 m) = 4 · (0,5)·(0,5)3

    Por tanto:

    P(1 v y 3 m) =

    Es decir:

    P(1 v y 3 m) =

    1. En una población con 8.000 familias, en:

    (8.000 familias) = 500 familias

    se dará la primera situación y en:

    (8.000 familias) = 2.000 familias

    se producirá la segunda.