Ceros y polos funcionales

    Se denominan ceros de una función los valores de la variable independiente para los que se anula dicha función. Para hallar los ceros de una función, basta con hacer en ella y = 0 y resolver la ecuación resultante.

    Análogamente, reciben el nombre de polos de una función los valores finitos de la variable para los que la función se hace infinita. En consecuencia:

    • Las funciones enteras, también llamadas polinómicas, no tienen polos.

    • En las funciones racionales, los polos serán los valores de la variable que anulen al denominador de dicha función.

    • En las funciones trascendentes, los polos se calculan teniendo en cuenta los valores que pueden tomar éstas.

    Finalmente, hay que añadir que la existencia de ceros y/o polos no es obligada, ya que:

    • Una función puede tener ceros y no tener polos.

    • Una función puede tener polos y no presentar ceros.

    • Una función puede tener polos y ceros.

    • Una función puede no tener ni polos ni ceros.

    Problema 1. Hallar los polos y ceros de la función:

    y =

    Solución. Según lo dicho, los ceros los hallaremos haciendo y = 0, con lo que:

    y = 0 2x – 1 = 0

    Para determinar los polos, se anula el denominador, con lo que se obtiene:

    x2 – 1 = 0

    Luego la función tiene un cero (x = ) y dos polos (x = 1 y x = -1)

    Problema 2. Hallar los ceros y polos de la función:

    y =

    Solución. Haciendo y = 0 para hallar los ceros:

    y = 0 x = 5

    Anulando el denominador para determinar los polos:

    x2 + 1 = 0 x2 = -1

    Esta ecuación no tiene soluciones reales, luego tiene un cero (x = 5) y carece de polos.

    Problema 3. Estudiar los ceros y polos de:

    y = tg x

    Solución. La función puede escribirse en la forma:

    y =

    L os ceros son las soluciones de:

    x = 0 + 2k

    sen x = 0 (1)

    x =

    Los polos, a su vez, son las soluciones de:

    x =

    cos x = 0 (2)

    x =

    Por tanto, la función tiene infinitos ceros, dados por el bloque (1) e infinitos polos, determinados por el bloque (2).