Derivada de la función inversa

    Una función puede venir expresada en forma explícita, es decir, como y = f(x). También puede expresarse en forma implícita, con la función y sin despejar, del modo siguiente:

    f(x,y) = 0

    Para el primer caso existe una tabla de derivadas cuya aplicación permite la derivación de cada función. En el segundo, se podría intentar despejar la función y, para obtener el el caso anterior, pero esta operación no siempre es sencilla.

    Por ello, es conveniente tener en cuenta la siguiente regla: para derivar una función implícita, se la deriva término a término de acuerdo con las reglas generales de la derivación, pero multiplicando la derivada de los términos que presenten la variable dependiente y por su derivada, y’. El concepto de derivación implícita puede extenderse a la idea de derivadas sucesivas.

    Problema 1. Hallar la derivada de la función:

    x3y + xy2 – 5x + 4y = 0

    Solución. Aplicando la regla dada:

    3x2y + x3y’ + y2 + 2xyy’ – 5 + 4y’ = 0

    Operando:

    x3y’ + 2xyy’ + 4y’ = 5 – 3x2yy2

    Sacando y’ factor común:

    y’ (x3+2xy + 4) = 5 – 3x2yy2

    Despejando y’:

    Problema 2. Hallar la derivada segunda de la función implícita:

    xy – 6x + 4y – 1 = 0

    Solución. Obtengamos la derivada primera, aplicando la regla dada, con lo que se tendrá:

    y + xy’ – 6 + 4y’ = 0

    Es decir:

    xy’ + 4y’ = 6 – y y’(x + 4) = 6 – y

    Luego:

    (1)

    Se procederá ahora a derivar de nuevo para obtener la derivada segunda, aplicando siempre la regla de derivación de funciones implícitas:

    Operando:

    Sustituyendo en esta expresión el valor de y’, dado por (1):

    y’’ =

    Simplificando:

    y’’ =

    Problema 3. Hallar la derivada enésima de:

    y = sen x

    Solución. El cálculo de la derivada enésima de una función consiste en hallar una fórmula general, en función del orden de derivación, que permita hallar una derivada cualquiera. La técnica para lograr este objetivo consiste, simplemente, en hallar las derivadas sucesivas y observar su ley de formación.

    Las primeras derivadas serán:

    y’ = cos x = sen (x +

    y”= cos (x + = sen (x +

    y”’= cos (x + = sen (x +

    yIV= cos (x + = sen (x +

    En general, como se puede observar:

    y(n) = sen (x +

    Problema 4. Hallar la derivada enésima de:

    y = ax· La

    Solución. Como La es una constante, hallando las derivadas sucesivas:

    y’ = ax (La) · (La) = ax· (La)2

    y” = ax· (La) · (La)2 = ax · (La)3

    y”’ = ax· (La) · (La)3 = ax (La)4

    Luego, en general:

    y(n) = ax · (La)n+1