Derivada lateral

    Dada una función y = f(x) y, considerado un punto de abscisa x = a de su dominio, se dice que es derivable por la izquierda, si existe el límite:

    Análogamente, se dice que y = f(x) es derivable por la derecha en el punto de abscisa x = a, perteneciente a su dominio, cuando existe el límite:

    Si una función es derivable por la derecha y por la izquierda en el punto x = a y, además:

    f’(a-) = f’(a+)

    entonces, se dice que es derivable en x = a.

    Debe tenerse en cuenta que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto, lo que significa que:

    • Si una función es derivable por la derecha en x = a, es continua por la derecha en dicho punto.

    • Si una función es derivable por la izquierda en x = a, es continua por la izquierda en dicho punto.

    • Si una función es derivable en x = a, es derivable por la izquierda y por la derecha en x = a.

    Los recíprocos, sin embargo, no son ciertos, ya que la continuidad de y = f(x) no garantiza su derivabilidad. Como ejemplo clásico puede citarse la función:

    y =

    en la que la variable dependiente o función, y, toma los valores del módulo de x. Es decir, los valores de la variable, pero desprovistos de su signo. Así, por ejemplo:

    Para x = 3 = 3 y = 3

    Para x = - 3 = 3 y = 3

    La representación gráfica de esta función sería:

    Se verán ahora sus continuidades laterales:

    Además:

    Luego, como existen los dos límites funcionales, derecho e izquierdo, y ambos son iguales:

    f(x) = 0

    Por otra parte:

    f(0) = 0

    Por tanto, como existe el límite en x = 0, existe f(0) y ambos valores son iguales, la función es continua en x = 0.

    Se procederá ahora a estudiar sus derivadas laterales en x = 0. La derivada por la izquierda sería:

    La derivada por la derecha tendría como valor:

    Por consiguiente, como las derivadas laterales existen, pero no son iguales, la función, no obstante ser continua, no es derivable en x = 0.

    Gráficamente, podría haberse llegado a la misma conclusión, recordando el significado geométrico de la derivada, la cual da la pendiente de la recta tangente a la función en el punto en que se derive. En este caso, en x = 0, hay dos tangentes, a derecha e izquierda, con pendientes distintas, lo que indica que las derivadas laterales son diferentes y, por tanto, la función no es derivable en el punto x = 0 considerado.