Ecuaciones de la recta

    Una recta, cuya ecuación es siempre lineal, es decir, de primer grado en x y en y, puede expresarse de diversas formas, que se analizarán a continuación.

    • Forma explícita. En ella, la variable y está despejada. Se escribe como:

    y = mx + n

    siendo m el coeficiente angular o pendiente y n la ordenada en el origen.

    • Forma implícita. Todos los términos de la ecuación aparecen en el mismo miembro.

    ax + by + c = 0

    Para pasar de esta forma a la anterior, basta con despejar y.

    • Determinada por dos puntos. La recta que pasa por A(x1, y1) y B(x2, y2) es:

    y – y1 =

    • Forma punto-pendiente. La recta viene dada por un punto de la misma, A(x1, y1), y su pendiente, m.

    yy1 = m (xx1)

    • Forma canónica. Siendo a y b los segmentos que la recta determina, respectivamente, sobre los ejes OX y OY, su ecuación puede expresarse como:

    • Forma normal. También llamada hessiana, es:

    x cos w + y sen w – p = 0

    p es el llamado perpendículo (segmento de perpendicular trazada desde el origen a la recta) y wes el ángulo que forma dicho perpendículo con la dirección positiva de OX.

    Problema 1. Hallar la ecuación implícita de una recta que, pasando por P(1,3), tiene de pendiente 2/3.

    Solución. Usando la forma punto-pendiente, la ecuación de la recta sería:

    yy1 = m (xx1) y – 3 =

    Es decir:

    3y – 9 = 2x – 2

    Pasando todos los términos a un miembro:

    2x – 3y + 7 = 0

    que es la ecuación buscada.

    Problema 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(2, 0) y B(0, -5)

    Solución. Aplicando la forma que determina la ecuación de una recta que pasa por dos puntos:

    y – y1 = y – 0 = y =

    Operando, la recta buscada es:

    5x – 2y – 10 = 0

    No obstante, la recta podría haberse hallado más rápidamente si se observa que los puntos que la determinan son los de intersección con los ejes OX y OY, por lo que a =2 y b = -5, con lo que, utilizando la forma canónica, la ecuación sería:

    5x – 2y – 10 = 0