Función

    En el lenguaje cotidiano, el término función se asocia con la idea de dependencia. Así, es corriente decir que los gastos de una familia se dan en función de los ingresos, con lo cual se desea expresar que la cuantía de aquéllos depende de la de éstos.

    En un sentido más científico, la idea de función, aunque no con este nombre, se introdujo para expresar gráficamente la idea de cambio. Tal sucedió por vez primera en el estudio de los movimientos, con su plasmación en la representación gráfico-geométrica concebida por Nicolás Oresme en el siglo XIV. Esta representación, falta del apoyo de los números reales, empleaba segmentos para indicar las relaciones existentes entre dos variables.

    En el siglo XVI, Galileo perfeccionó la idea anterior asignando a las variables ligadas valores numéricos. Ello le permitió definir relaciones de proporcionalidad, muy importantes en el campo de la Cinética.

    Sin embargo, donde el concepto de función apareció con un sentido próximo al actual fue en la obra de René Descartes, quien introdujo el empleo delas letras x e y para designar a las variables y expresó la relación entre éstas mediante una ecuación. Su representación en un sistema de coordenadas ofrece un método para tener una idea gráfica de la función que se estudia.

    Junto con Descartes, Pierre de Fermat estableció que cualquier propiedad de la curva puede determinarse conociendo la expresión analítica de su función. Más tarde, Bernoulli introdujo la notación y = f(x) y Leonhard Euler estableció la reciprocidad de los conceptos función-curva: si a toda función le corresponde una línea, a toda línea le corresponde una función. Además, definió, aunque no con el significado actual, el concepto de continuidad de una función.

    El ruso Nikolái Lobachevski estableció en el siglo XIX que una función es un criterio que hace que a todo número x le acompañe otro y, que varíe con x, según una cierta ley. Afirmó igualmente que la función puede expresarse por una ecuación o por una condición. A su vez, Giuseppe Peano redujo la funcionalidad a una simple relación entre variables, idea esta que fue perfeccionada por otros matemáticos ya en el siglo XX.

    Hacia 1920, Felix Hausdorff introdujo en el concepto de función la teoría de conjuntos, definiendo una función como toda aplicación que asigna a cada elemento del conjunto X otro elemento del conjunto Y. Así, hoy en día se admite generalmente que una función es una correspondencia entre dos variables, entendiendo por variable un ente que puede tomar un conjunto de valores, que se denominan campo de variabilidad de la variable.

    Las variables de una función tienen diferente naturaleza. Una de ellas, llamada independiente y designada universalmente por x, toma sus valores sin influencia alguna, mientras que la otra, llamada dependiente o función y representada por y, asume valores condicionados por los de la primera. La relación se representa por:

    y = f (x)

    siendo f la característica de la función, la cual indica el conjunto de operaciones a que hay que someter a la x para obtener la y.

    Las funciones son de dos tipos:

    • Empíricas: no están regidas por leyes matemáticas y en ellas no se puede predecir el valor de la función para un valor de la variable. Por ejemplo, conocer las producciones de maíz en México desde 1900 no permite saber la producción que se logrará en 2020.

    • Matemáticas: sí están regidas por leyes matemáticas, por lo que son expresables mediante una ecuación, lo que permite predecir el valor de la función para cualquier valor de la variable. Su clasificación queda expuesta en el siguiente cuadro:

    Enteras

    Algebraicas Racionales

    Funciones matemáticas Irracionales

    Trascendentes

    La ecuación de las funciones enteras tiene forma polinómica; en las racionales, la variable aparece en el denominador de alguna fracción, y en las irracionales, la variable aparece afectada por el signo radical. Por su parte, las funciones trascendentes muestran siempre expresiones logarítmicas, exponenciales o trigonométricas.

    Además, hay que tener en cuenta que, como se ha dicho, las funciones no siempre vienen dadas por una ecuación, sino que pueden estar expresadas por condiciones. Por ejemplo, considérese la función:

    1 si x < 1

    f(x) =

    x si x 1

    Esta función está definida “a trozos”. Así pues, sigue una ley determinada para un conjunto dado de la variable independiente (números menores que la unidad) y otra ley distinta para el resto del conjunto (números mayores o iguales que la unidad).