Indeterminación

    La indeterminación aparece al hallar el siguiente límite:

    en el caso de que: f(x) = ; g(x) = 0

    Para resolver esta indeterminación se aplica la siguiente regla:

    1. Se supone conocido el valor del límite y se designa, por ejemplo, por A, con lo que se establece una igualdad.

    2. Se toman logaritmos neperianos en los dos miembros de la igualdad anterior, con lo que la indeterminación dada, , se convierte en 0 · .

    3. Multiplicando el primer factor por el inverso del segundo, se logra convertir la indeterminación 0 · en la .

    4. Se resuelve la indeterminación ahora planteada, mediante la aplicación de la regla de L’Hôpital, la cual afirma que cuando al hallar el límite de un cociente se plantee la indeterminación o , ambas pueden resolverse en cuenta que el límite dado es igual al límite de la derivada del numerador dividido por la derivada del denominador.

    5. De esta manera, se halla el logaritmo neperiano de A. Despejando A, se obtiene el límite deseado.

    Es decir, si:

    designando por A a:

    y tomando logaritmos neperianos en esta igualdad:

    L A = L ( f(x)g(x)) L A = g(x) · L f(x)

    Sustituyendo nuevamente x :

    L A = 0 ·

    Con lo que, como se ha dicho en la regla anterior, con el artificio de tomar logaritmos neperianos se ha convertido la indeterminación dada, , en la indeterminación 0 · . Ésta, a su vez, puede expresarse como:

    Esta nueva indeterminación puede resolverse mediante la aplicación de la regla de L’Hôpital. Sea k el resultado del límite planteado. Entonces:

    L A = k A = ek

    Así se hace posible hallar el límite buscado.

    Problema. Calcular:

    Solución. Sustituyendo en el límite:

    =

    Se aplica entonces la regla dada. Designando por A el resultado del límite a resolver:

    Tomando en la igualdad anterior logaritmos neperianos:

    Este límite puede escribirse en la forma:

    La nueva indeterminación planteada puede resolverse, como se ha dicho, por aplicación de la regla de L’Hôpital, con lo que:

    En consecuencia:

    L A = 0 A = e0 A = 1

    Por tanto:

    = 1