Potencia de un punto

    Si se considera una circunferencia de radio r y un punto P y se traza desde él una secante cualquiera a dicha circunferencia, se llama potencia de P con respecto a la circunferencia dada al producto de los segmentos PA y PB así definidos.

    Por tanto:

    El valor de la potencia es independiente de la secante trazada. Por ejemplo, si se traza la secante que corta a la circunferencia en C y D, la potencia sería:

    que es de igual valor que la anterior. En efecto, dado que los triángulos PBC y PDA son semejantes (tienen común el ángulo P e iguales los ángulos D y B, ya que abarcan el mismo arco), se puede escribir que:

    lo que demuestra la igualdad de (1) y (2).

    Dado que la potencia es independiente de la secante trazada, si se elige la que pasa por el centro de la circunferencia, llamando d a la distancia de P a ese centro:

    Esta expresión de la potencia permite determinar la posición del punto P con respecto a la circunferencia, ya que:

    Si  Pot > 0       d > r y el punto es exterior a la circunferencia.

    Si  Pot < 0       d < r y el punto es interior a la circunferencia.

    Si   Pot = 0      d = r y el punto está en la circunferencia.

    Teniendo en cuenta que una tangente es una secante en la que los dos puntos de intersección con la circunferencia se han confundido en uno solo, puede escribirse que:

    Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia con respecto a ambas circunferencias. Es una recta perpendicular a la línea que une sus centros, si las circunferencias son exteriores; la tangente común, cuando son tangentes, o la cuerda común, si son secantes.

    Finalmente, se denomina centro radical de tres circunferencias al punto que tiene igual potencia con respecto a las tres circunferencias. Se define como el punto de intersección de sus ejes radicales, tomados de dos en dos.