Problemas de semejanzas

    La idea de semejanza, concebida como forma de proporcionalidad, aparece ya en los geómetras del mundo griego clásico. Dadas dos series de segmentos rectilíneos, a, b, c, .. y a’, b’, c’, ..., se dice que son proporcionales cuando se verifica que:

    En el siglo VII a.C., Tales de Mileto enunció su conocido teorema, que afirmaba que los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas que se cortan son proporcionales.

    a a’

    b b’

    Así, en la figura adjunta, se cumpliría que:

    La noción de semejanza es extrapolable a cualquier figura, y alcanza gran importancia en los polígonos. Se dice que dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.

    A

    A’

    B C B’ C’

    D E D’ E’

    Por ejemplo, la semejanza entre los dos pentágonos representados, exige que:

    A = A’; B = B’; C = C’; D = D’

    Además:

    Prescindiendo de rigorismos matemáticos, puede decirse que dos figuras semejantes son iguales en todo, excepto en el tamaño. Por ejemplo, una vivienda, en la realidad y su maqueta, si está bien realizada, son figuras semejantes.

    En dos polígonos semejantes, se llama razón de semejanza, k, al cociente de dos lados homólogos. Por ejemplo, en los dos pentágonos anteriores:

    Son muy importantes los dos teoremas siguientes:

    • La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de semejanza.

    • La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

    Un caso notable de semejanza es el de los mapas y los territorios reales a los que representan. En este caso, la razón de semejanza se llama escala y suele estar referida a la unidad. Por ejemplo, si un mapa está dibujado a escala 1:100.000, esto significa que una unidad de longitud, medida en el mapa, es igual a 100.000 unidades de longitud en la realidad. Otro tanto se puede decir de los planos de viviendas, piezas mecánicas, etc.

    Problema 1. El perímetro de un rectángulo es 70 m. Otro rectángulo, semejante al primero, tiene longitud y anchura de 4 m y 3 m, respectivamente. Hallar las dimensiones del primero.

    Solución. Como el perímetro del segundo rectángulo es 14 m, la razón de semejanza será:

    Llamando x e y a las dimensiones buscadas:

    Problema 2. ¿Qué distancia habrá en un mapa, dibujado a escala 1:1.000.000, entre dos ciudades que, en la realidad, están separadas por 60 km?

    Solución. Llamando dr a la distancia real entre las ciudades, dm su distancia en el mapa y e a la escala:

    dr = dm · e

    Por tanto:

    Problema 3. Unaparcela está representada en un plano a escala 1:50, ocupando una superficie de 2.400 cm2 ¿En qué relación se hallan los perímetros de la parcela real y de la parcela dibujada?

    Solución. Llamando Sr a la superficie real y Sp a la superficie del plano:

    Por tanto, la superficie de la parcela es:

    Sr = 600 m2