Problemas de triángulos

    Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y ángulos a partir de unos datos. En términos generales, pueden distinguirse dos casos, ya se trate de triángulos rectángulos o triángulos oblicuángulos.

    Resolución de triángulos rectángulos. Basta con manejar las definiciones de razones trigonométricas, teniendo además en cuenta que en este tipo de triángulos se verifica:

    • Teorema de Pitágoras: Designando por a la hipotenusa del triángulo y por b y c sus catetos:

    a2 = b2 + c2

    • Como en todo triángulo la suma de sus ángulos es 180º y en los rectángulos A = 90º, la suma de sus ángulos agudos será también 90º. Es decir:

    B + C = 90º

    Resolución de triángulos oblicuángulos. Se pueden plantear cuatro casos. En cualquiera de ellos, siempre se conocerán tres elementos (en un triángulo hay seis elementos: tres lados y tres ángulos), entre los cuales debe figurar necesariamente un lado. Si el triángulo es oblicuángulo, el conocimiento de sus tres ángulos no basta para determinarlo, pues la igualdad:

    A + B + C = 180º

    al no tener más limitación que el hecho de que A, B y C no pueden ser ninguno mayor o igual a 180º, tiene infinitas soluciones.

    A esta misma conclusión, se podría haber llegado por consideraciones geométricas. Por ejemplo, hay infinitos triángulos con ángulos de 60º, 80º y 40º: uno cualquiera y todos los semejantes a él.

    Los cuatro casos posibles son, por tanto:

    1. Se conocen un lado y dos ángulos adyacentes.

    2. Son datos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

    3. Se conocen los tres lados

    4. Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

    Los triángulos oblicuángulos se resuelven utilizando las siguientes herramientas:

    1. La consideración de la suma de sus ángulos, es decir, el hecho de que siempre:

    A + B + C = 180º

    1. El teorema del seno

    2. El teorema del coseno

    3. El teorema de Neper o de las tangentes

    4. Las fórmulas de Briggs

    Determinación de áreas. Se lleva a cabo aplicando las diferentes formas de expresar la superficie de un triángulo:

    1. En función de dos de sus lados y el ángulo que éstos definen.

    2. A partir de un lado y de sus dos ángulos adyacentes.

    3. En función de dos de sus lados y el radio de la circunferencia circunscrita.

    4. Por medio de su semiperímetro y el radio de la circunferencia inscrita.

    5. A través de la fórmula de Herón, que exige el conocimiento del valor de las longitudes de los tres lados del triángulo.

    Problema 1. Hallar el área de un triángulo isósceles, cuya altura es 80 m y cuyo ángulo desigual es 70º.

    Solución. Dado el triángulo isósceles ABC, la altura correspondiente al vértice del ángulo desigual, h, define dos triángulos: AMB y AMC.

    A

    B C

    M

    Como, en el triángulo AMC:

    C = 90º - C = 55º

    En el triángulo AMC:

    tg C =

    Luego:

    MC = 56,02

    Dado que:

    BC = 2 · MC BC = 2 · 56,02 BC = 112,04

    El área buscada será:

    S =

    Luego:

    S = 4.481,6 m2

    Problema 2. Un observador situado a la orilla de un río ve un árbol colocado en la otra orilla bajo un ángulo de 60º. Alejándose 20 m, lo ve desde un ángulo de 30º. Hallar la altura del árbol y la anchura del río.

    Solución. El siguiente esquema ilustra la situación.

    D

    h

    30º 60º

    C A B

    20 x

    Sea AB = x el ancho del río. En el triángulo DBA:

    tg 60º = (1)

    En el triángulo DBC:

    tg 30º = (2)

    Despejando h en (1):

    h =

    Sustituyendo en (2):

    Operando:

    x + 20 = 3x x = 10 m

    La altura del árbol será:

    h = h = 10 m

    Problema 3. Hallar el área de un rectángulo, sabiendo que una diagonal mide 80 m y que el ángulo obtuso bajo el que se cortan ambas diagonales es de 120º.

    Solución. Como:

    D C

    O

    A B

    H

    DB = 80 m OB = 40 m

    En el triángulo OHB, como el ángulo en O es de 60º (la mitad del ángulo AOB, el cual, según el enunciado, mide 120º), el ángulo B es de 30º, por lo que:

    sen 30º = OH = 20 m

    En consecuencia:

    CB = 2 · OH CB = 40 m

    En el mismo triángulo, también se cumple que:

    cos 30º = HB = 10·

    Por tanto:

    AB = 2· HB AB = 20 ·

    Como el área del rectángulo es:

    S = AB · BC

    Se tendrá que:

    S = AB · BC S = 20· · 40 S = 800· m2

    Problema 4. Calcular el área de un triángulo, sin recurrir a la fórmula de Herón, sabiendo que sus lados son a = 86 m; b = 70 m y c = 96 m.

    Solución. El área del triángulo será:

    S = S = (1)

    Se calculará el valor de sen A, para lo cual, aplicando el teorema del coseno:

    a2 = b2 + c2 – 2·b·c· cos A

    Sustituyendo los valores de las longitudes de los lados:

    862 = 702 + 962 – 2· 70 · 96 · cos A

    Operando:

    7.396 = 4.900 + 9.216 – 13.340 · cos A cos A = 0,503

    Como, por la propiedad fundamental:

    sen2 A + cos2 A = 1 sen2 A + (0,503)2 = 1

    Operando:

    sen2 A = 0,747 sen A = 0,8642

    Por tanto, sustituyendo en (1):

    S = S = 3.359,1358 m2

    Problema 5. Resolver un triángulo rectángulo (hallar todos sus lados y ángulos), sabiendo que la altura correspondiente a la hipotenusa (h), los catetos (b y c) y la hipotenusa (a) tienen los siguientes valores, expresados en metros:

    h = 7; b = 7 + x; c = 7 + 2x; a = 7 + 3x

    Solución. Aplicando el teorema de Pitágoras:

    (7 + 3x)2 = (7 + x)2 + (7 + 2x)2

    Operando:

    49 + 9x2 + 42x = 49 + x2 + 14x + 49 + 4x2 + 28x

    de donde:

    4x2 = 49 x = 3,5

    por tanto, los lados del triángulo serán:

    b = 7 + x b = 7 + 3,5 b = 10,5

    c = 7 + 2x b = 7 + 2· (3,5) b = 14

    a = 7 + 3x c = 7 + 3 · (3,5) a = 17,5

    Con respecto a los ángulos agudos:

    sen B = sen B = sen B = 0,6 B = 36,87º

    sen C = sen C = sen C = 0,8 C = 53,13º

    Otra manera de actuar para determinar el ángulo C consiste en tener presente que el triángulo es rectángulo, por lo que, una vez conocido el valor del ángulo B, como:

    B + C = 90º C = 90º - 36,87º C = 53,13º

    lo que hubiera permitido hallar el ángulo C por otro procedimiento.

    Problema 6. Resolver un triángulo ABC, sabiendo que las longitudes de sus lados son, en metros: a = 3, b = 5, c = 7. Averiguar además la naturaleza del triángulo en cuestión.

    Solución. El perímetro de triángulo es:

    P = 3 + 5 + 7 P = 15

    Por lo que el semiperímetro será:

    p = 7,5

    Aplicando las fórmulas de Briggs:

    tg

    tg = 0,192 = 10,86º A = 21,72º

    tg

    tg = 0,346 19,08º B = 38,16º

    Para calcular el valor del ángulo C no es necesario recurrir a las fórmulas de Briggs, ya que como:

    A + B + C = 180º C = 180º - A – B

    Por lo que:

    C = 180º - 21,72º - 38,16º C = 120,12º

    Dado que uno de los ángulos es mayor que 90º, el triángulo en cuestión es obtusángulo.

    Problema 7. Resolver un triángulo, sabiendo que en él: c = 4 m; A = 2C y cos C = 0,75.

    Solución. Aplicando el teorema de los senos:

    Pero, como, según el enunciado, A = 2C:

    Esta última igualdad se ha establecido teniendo en cuenta el valor de sen 2C en función de las razones trigonométricas de C. Simplificándola:

    A = 2· c · cos C a = 2· 4 · (0,75) a = 6 m

    Como cos C = 0,75, mediante la calculadora:

    C = 41,41º

    Por tanto:

    A = 2C A = 82,82º

    En consecuencia, como:

    A + B + C = 180º B = 180º - A – C B = 55,77º

    El lado b puede calcularse mediante el teorema del coseno:

    b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

    Con lo que:

    b2 = 62 + 42 – 2 · 6 · 4 · cos B b2 = 52 – 48· (0,562)

    Luego:

    b = 5,002 m