Fractal

    Un fractal es una estructura iterativa que goza de la propiedad de la autosemejanza o autosimilitud, según la cual su forma y su aspecto global no cambian con independencia de la escala a la que se observen. En un objeto fractal cualquiera de sus partes a una determinada escala tiene igual aspecto y forma que otra parte tomada a una escala superior o inferior. Si se mirara dicho objeto con el zoom de una cámara fotográfica o con el objetivo de un microscopio se apreciarían las mismas formas en cualquiera de los aumentos que se eligieran.

    La idea de los fractales como abstracción matemática es relativamente moderna. De hecho, el término fue propuesto en 1975 por el matemático francés de origen polaco Benoît Mandelbrot, como una derivación del latín fractus (“quebrado o fracturado”). Sin embargo, estos objetos están muy presentes en la naturaleza, de una forma aproximada e infinitamente compleja. El ejemplo clásico de fractal natural propuesto por Mandelbrot es la línea de costa que delimita los continentes. También se observan estructuras fractales en el dibujo de las nubes, los copos de nieve, las cuencas de los ríos, la ramificación de los árboles, la trayectoria de los rayos, la distribución de los vasos sanguíneos y las neuronas en el cerebro, las formaciones en espiral de los huracanes y las galaxias o las caracolas marinas, por citar algunos de los innumerables ejemplos existentes.

    En términos matemáticos, la idea de la fractalidad era ya manejada al menos desde el siglo XVII, aunque no de forma sistemática. En el desarrollo actual experimentado en este campo adquirió especial relevancia el trabajo de Mandelbrot, quien describió los fractales geométricos como formas fragmentadas que, al dividirse en partes, producen otras formas que son copias a menor tamaño de la original.

    La característica que distingue a un fractal matemático es que estas estructuras tienen dimensiones fraccionarias. Este concepto, que no es nada intuitivo, surge de la dificultad de medir las formas fractales con instrumentos específicos. En la práctica, estos instrumentos no son capaces de cubrir la extensión de dichas formas porque siempre quedan fuera de la medida algunos de sus rasgos más finos. Por ejemplo, si se quiere medir la longitud de un fragmento acotado de una línea de costa se puede utilizar un metro como patrón. Ahora bien, el metro es rectilíneo, pero no así la costa. Aunque podría pensarse que si se eligiera un “metro” más pequeño se resolvería el problema, no sucede así: si se amplía la escala de la medida, es decir, si se observa más de cerca, la línea de costa seguirá siendo autosimilar, igualmente anfractuosa, por lo que conforme se aprecien detalles más finos el instrumento de medida estándar no podrá resolverlos por pequeño que éste sea.

    El problema estriba en que el metro es, conceptualmente, un segmento y, por tanto, tiene dimensión uno. Dado que el metro no la abarca, puede entenderse que la estructura fractal posee una dimensión mayor que uno. Sin embargo, si se utilizara un círculo, cuya dimensión es dos, como instrumento de medida, desbordaría el fractal: en este caso es el fractal el que no llena el círculo. Así pues, puede decirse que la dimensión de la estructura fractal está comprendida entre uno (el segmento) y dos (el círculo). Por lo tanto, es fraccionaria.

    Con base en estos conceptos, Mandelbrot ideó un método, que lleva su nombre, para construir fractales a partir de la iteración, o repetición, de formas geométricas y algebraicas básicas sencillas de dimensión fraccionaria. De este modo, los fractales son entidades muy complejas, pero se constituyen a través de la reiteración de procesos muy simples. A partir de los conjuntos matemáticos definidos por Mandelbrot y otros investigadores es posible representar con una aproximación muy acertada objetos de la naturaleza sin más que aplicar a dichos procesos sencillos la propiedad de la autosimilitud estadística.

    Esta capacidad de recreación ha sido aprovechada en la expresión artística y musical. Por una parte, la aplicación de los principios de los fractales permite obtener, por ejemplo, representaciones paisajísticas en pintura que resultan bastante realistas. Evidentemente, este mismo procedimiento permite ejecutar obras de arte visual basadas en patrones fractales con alto valor estético.

    La aplicación de estructuras fractales ha sido practicada también en la música clásica europea desde la Edad Moderna. Los grandes compositores, desde el clasicismo hasta el siglo XX, han recurrido a menudo en sus obras a una técnica de autosimilitud o reproducción a escala de pasajes musicales semejante a la definida por las matemáticas actuales. En la composición contemporánea se recurre en ocasiones a modelos matemáticos para elaborar piezas musicales de naturaleza intrínsecamente fractal.

    En el campo de la ciencia y la tecnología, las estructuras fractales encuentran cada vez más aplicaciones. La teoría del caos o el estudio de los cuasicristales recurren a estos conceptos para, por ejemplo, mejorar las predicciones meteorológicas o diseñar materiales con propiedades novedosas. También la electrónica, las telecomunicaciones o la medicina aplican el análisis fractal para sus procesos de diseño, exploración y diagnóstico.