Polinomios y ecuaciones

La resolución de ecuaciones algebraicas representa uno de los afanes más antiguos de las matemáticas. En sí, las ecuaciones suponen un intento de expresar de modo abstracto las relaciones entre las cantidades numéricas. Permiten plantear problemas de manera general y determinar sus soluciones sin necesidad de realizar cálculos tentativos ni de aplicar métodos indirectos o de aproximación.

En las tablillas cuneiformes (es decir, con marcas en forma de cuña) conservadas de la civilización mesopotámica y otras fuentes de la historia antigua se conservan vestigios de planteamientos matemáticos próximos a las ecuaciones de la actualidad. Muchos de ellos hablan de la universalidad del razonamiento humano, pues poseen un nivel de abstracción tan propio de aquellos tiempos lejanos como del hombre contemporáneo.

De algún modo, la historia de las matemáticas ha consistido en una búsqueda continua del perfeccionamiento de un sistema de expresión de signos capaz de formular las ideas más abstractas. En el ámbito del álgebra se alcanzó una de las cimas de este empeño con la invención del polinomio: una expresión condensada de constantes y variables elevadas a distintos exponentes y relacionadas entre sí mediante operaciones de suma y multiplicación.

Polinomios

En su esencia, un polinomio es una expresión matemática constituida por la suma algebraica de términos constituidos por un coeficiente y una variable elevada a un cierto exponente. Los coeficientes y variables del polinomio son números reales; en cambio, los exponentes pertenecen al conjunto de los números naturales. La expresión matemática genérica de un polinomio es la siguiente:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn

En esta expresión, x es la variable o indeterminada, a0, a1, a2, ..., an son valores numéricos constantes que se denominan coeficientes del polinomio y n es un número natural. Un ejemplo concreto de polinomio sería:

P(x) = 3 + 2x – 3x2 + 4x3 + 8x4

Cada uno de los sumandos de un polinomio recibe el nombre de término o monomio, y se denomina grado del polinomio al máximo exponente al que aparece elevada la variable x. En el ejemplo, 2x, –3x2 u 8x4 son varios de sus monomios. Este polinomio es de grado 4, pues tal es el exponente más alto que aparece en el mismo. Por su parte, el término que se muestra sin variable (3, en el ejemplo anterior) se denomina término independiente.

De este modo, un polinomio puede definirse asimismo como una suma algebraica de monomios. Desde este punto de vista, dos polinomios se dicen iguales si cumplen dos condiciones: tienen el mismo grado y los coeficientes de cada uno de sus términos son iguales.

Un polinomio se dice completo cuando tiene todos los términos, desde el independiente al de mayor grado. El ejemplo anterior verifica esta condición. En caso contrario se dice incompleto, como sucedería con el polinomio siguiente, que carece de término de segundo grado:

Operaciones con polinomios

Las operaciones más corrientes realizadas con polinomios son la suma, la sustracción, el producto y la división. Para exponerlas, se aplicará el ejemplo de operación de dos polinomios, denotados respectivamente como:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn

Q(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x3 + … + bmxm

La suma y resta de polinomios se obtiene mediante la adición o sustracción de los coeficientes de los términos equivalentes, es decir, los que tienen la variable elevada al mismo exponente. El resultado es, por tanto, un nuevo polinomio de grado igual al mayor de los que se suman o de igual o menor grado que el del mayor si se restan.

Suponiendo que el grado m del polinomio Q(x) es mayor que el n de P(x), la suma de los dos polinomios anteriores sería:

P(x) + Q(x) = (a0+ b0) + (a1+b1)x + (a2+ b2)x2+ … + (an+bn)xn+bn+1 xn+1 +…+ bmxm

La sustracción, operación inversa de la suma, se realizaría del mismo modo, aunque modificando la adición de coeficientes por la resta de los mismos. La operación de suma quedará más clara con el ejemplo mostrado a continuación:

P(x) = 53x + 3x3

Q(x) = –2+2x2 +5x33x4

P(x) + Q(x) =3 3x + 2x2 + 8x33x4

Por su parte, el producto de dos polinomios origina un nuevo polinomio que se obtiene multiplicando cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los del otro y agrupando después todos los coeficientes de los términos del mismo grado. Es decir:

P(x) · Q(x) = a0 · (b0 + b1x + b2x2 + b3x3 +…+ bmxm) + a1x · (b0 + b1x + b2x2 + b3x3 +…+ bmxm) + a2x2 · (b0 + b1x + b2x2 + b3x3 +…+ bmxm) +…+ anxn · (b0 + b1x + b2x2 + b3x3 +…+ bmxm)

División de polinomios y regla de Ruffini. El cociente o división es la operación inversa de la multiplicación. En esencia, para poder dividir dos polinomios entre sí es necesario que el numerador o dividendo de la división, que se llamará polinomio D(x), tenga un grado superior o igual al del denominador o divisor, d(x). En tal caso, se obtendrá un nuevo polinomio cociente, denotado por C(x), y un resto de la división, un polinomio o constante que se indica como R(x). Como en toda división, se cumple que:

Dividendo = divisor · cociente + resto

Es decir:

D(x) = d(x) · C(x) + R(x)

Los polinomios cociente y resto se hallan según el siguiente proceso:

  1. Se ordenan los polinomios por grados decrecientes de la variable: primero los términos de exponente más alto y, en último lugar, el término independiente.

  1. Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primero del divisor. El resultado es el primer término del cociente.

  1. Se multiplica el término resultante por el polinomio divisor y se resta del dividendo.

  1. Se vuelven a realizar en el polinomio obtenido de las operaciones anteriores los mismos pasos 2 y 3 de forma reiterada, hasta obtener un polinomio de grado menor que el divisor. Este polinomio será el resto. Cuando el resto es nulo, R(x) = 0, se dice que el dividendo es divisible por el divisor.

Por ejemplo, si se desea dividir el polinomio D(x) = 3x4x3 + 3x2 + 7x1 por el divisor d(x) = x2x + 2, se procederá del modo indicado en la figura 1.

Ejemplo de división entre polinomios.

Por tanto, (3x4x3 + 3x2 + 7x1) = (x2x + 2) · (3x2 + 2x1) + (2x + 1).

Al ser el resto distinto de cero, el polinomio no es divisible por el divisor.

En el caso particular en que el divisor sea un binomio, esto es, un polinomio de dos términos del tipo (x + b), el anterior algoritmo de procedimiento puede sustituirse por una técnica abreviada conocida por regla de Ruffini. Esta regla se explicará con ayuda de un ejemplo, consistente en calcular la división del polinomio (x3 + 4x + 4)por (x + 2). El método es:

1. Se escriben los coeficientes del polinomio en grados decrecientes, señalando con un cero los coeficientes nulos.

1(x3), 0 (x2), 4 (x), 4

2. Se coloca a la izquierda el término independiente del binomio divisor cambiado de signo.

3. El primer coeficiente es el primer coeficiente del dividendo. Los demás se van multiplicando por el término independiente del binomio divisor y se suman al siguiente:

4. El último término que se obtiene corresponde al resto, y los anteriores, al cociente cuyo grado es una unidad inferior al del dividendo. Así, (x3 + 4x + 4) = (x + 2) · (x22x + 8) + (12).

Valor numérico y factorización de un polinomio

Se denomina valor numérico de un polinomio al resultado que se obtiene al sustituir la variable del mismo por un número concreto cualquiera. Por ejemplo, el polinomio:

P(x) = 5 3x + 3x3

adopta para x = 2 el valor numérico siguiente:

P(2) = 5 – 3 · 2 + 3 · 23 = 5 – 6 + 24 = 23

Por otra parte, se conoce como raíz de un polinomio al valor r de la variable que hace que el valor numérico del polinomio se anule, esto es, que P(r) = 0. Por ejemplo, el valor x = 1 es raíz del polinomio P(x) = 2x3 4x + 2, pues P(1) = 2 – 4 + 2 = 0.

De este modo, si se conocen las raíces de un polinomio dado, es decir, los valores de las variables para los cuales el polinomio se anula, es posible expresar éste en una forma alternativa. Debe observarse que el número de raíces de un polinomio es igual a su grado.

Sea P(x) un polinomio y a una de sus raíces, de forma que P(a) = 0. Entonces, el polinomio puede escribirse como el producto siguiente:

P(x) = (x – a) · C(x)

Con ello, se ha descompuesto el polinomio en el producto de dos factores. Aplicando el mismo razonamiento a C(x), se concluye que si a1, a2, ..., an son las n raíces de un polinomio P(x) de grado n, éste puede escribirse como:

P(x) = (x – a1) · (x – a2) · (x – a3)·…·(x – an)

Es decir, el polinomio se expresa como el producto de factores que se corresponden con sus raíces. Esta operación, de enorme utilidad en los procedimientos de resolución de ecuaciones, se conoce como factorización de un polinomio (v. tabla 1.)

Tabla 1. Identidades notables, de uso frecuente en matemáticas.

Ecuaciones

El planteamiento de ecuaciones constituye un medio abstracto muy eficaz para la resolución de problemas. En éstos se parte de una serie de datos conocidos que sirven para indagar acerca del valor de otro dato desconocido llamado incógnita o variable. La ecuación, en su acepción más obvia, es una «receta» que resume las características del problema y permite calcular el valor de la incógnita.

Así, una ecuación se puede definir como una expresión algebraica que reúne constantes y/o variables a ambos lados de un signo igual y que se verifica sólo para algunos valores de la incógnita. De esta forma, resolver una ecuación consiste en dilucidar cuáles son estos valores o, lo que es lo mismo, encontrar las raíces o soluciones de la fórmula matemática correspondiente.

Un problema posible que puede plantearse mediante una sencilla ecuación sería el siguiente: ¿qué edad tiene un niño si, al multiplicarla por 2 y sumarle 3 da como resultado 5? Si se representa por x la edad del niño, la ecuación sería:

2x + 3 = 5

En este caso, es fácil deducir que el niño tiene 1 año. Esta ecuación se dice de primer grado, pues la incógnita está elevada a 1 (no al cuadrado, al cubo, etc.).

Cada una de las expresiones algebraicas que se encuentra a cada lado del signo igual de una ecuación se denomina miembro. En el ejemplo dado hay dos miembros: 2x + 3, a la izquierda del igual, y 5, a la derecha. Los miembros consisten en una serie de sumandos, cada uno de los cuales se conoce como término (por ejemplo, 2x, 3, 5).

El término que no se encuentra multiplicando a una incógnita se denomina término independiente y las cantidades desconocidas reciben el nombre de incógnitas. Se llama grado de una ecuación al mayor exponente de la incógnita que se encuentra en la ecuación.

Resolver una ecuación es encontrar las soluciones, aquellos valores para los cuales se cumple la igualdad. Para ello han de tenerse en cuenta las propiedades siguientes:

  • Dos ecuaciones se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones.

  • Al multiplicar cada uno de los miembros de una ecuación por el mismo número se obtiene una ecuación equivalente.

  • Si se suma a cada miembro de una ecuación la misma expresión matemática se obtiene también una ecuación equivalente.

Como corolario de las dos últimas reglas, si un término dado está sumando pasa al otro miembro restando, y si está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo.

Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones en las que el máximo exponente de la incógnita es la unidad se llaman de primer grado. Su expresión general es:

ax + b = 0

Aplicando las propiedades generales de las ecuaciones, tienen como solución:

Así, son posibles dos casos diferentes:

  • Que a y b sean números reales, en cuyo caso la ecuación es compatible y de solución única.

  • Que a sea 0, con lo cual ecuación no tiene solución (ecuación incompatible).

Una gran cantidad de problemas se resuelven mediante ecuaciones de primer grado. Para ello es conveniente entender perfectamente el enunciado y saber transcribirlo a lenguaje matemático. Es decir, plantear la ecuación o ecuaciones correspondientes y resolverlas algebraicamente.

A título de ejemplo,consideremos el enunciado siguiente: ¿qué edades tienen dos hermanas, una de las cuales es dos años mayor que la otra, si la suma de sus edades es el doble que su diferencia?

Llamando x a la edad de la hermana menor, la mayor tendrá (x + 2) años. Como la suma de sus edades es el doble de su diferencia:

(x + 2) + x = 2[(x + 2) – x]

Reduciendo la anterior expresión, se tiene que 2x + 2 = 4, de donde se deduce que x = 1. Luego las hermanas tienen 1 y 3 años.

Ecuaciones de segundo grado

En las ecuaciones de segundo grado, la incógnita está elevada al cuadrado. Por tanto, la expresión general de estas ecuaciones es:

ax2 + bx + c = 0

La solución de estas ecuaciones se obtiene aplicando la siguiente expresión como regla general:

La expresión b2 – 4ac recibe el nombre de discriminante. De este modo, el signo significa que la ecuación tiene dos soluciones: la primera se obtiene sumando la raíz cuadrada del discriminante, y la segunda, restándolo. Además, si se cumpliera que el discriminante es negativo, es decir, si b24ac < 0, la ecuación no tendría solución en el conjunto de los números reales (aunque sí en el de los complejos).

Puede obtenerse una forma interesante de expresar la ecuación de segundo grado en función de la suma y el producto de sus raíces. Así, si las soluciones o raíces son x1 y x2, la ecuación original tiene una ecuación equivalente que puede escribirse como:

x2(x1 + x2)x + x1x2 = 0

A modo de ejemplo se resuelve la ecuación x24x + 3 = 0. Aplicando la solución general, se tiene que:

Por tanto, las soluciones o raíces son x1 = 3 y x2 = 1.

Ecuaciones bicuadradas. El método de resolución de ecuaciones de segundo grado puede aplicarse a otras denominadas bicuadradas. Las ecuaciones bicuadradas se definen como aquéllas de cuarto grado cuyos coeficientes de grados uno y tres son nulos. Son, por tanto, ecuaciones del tipo:

ax4 + bx2 + c = 0

Para resolver estas ecuaciones basta con realizar un cambio de variable. Llamando x2 = y, la ecuación se transforma en una de segundo grado, de expresión:

ay2 + by + c = 0

Una vez conocido el valor de y, los de x originales se determinarán como:

x =

Así, las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro raíces, como se aprecia en el ejemplo siguiente. Sea la ecuación:

x416x2 + 36 = 0

Haciendo el cambio x2 = y, se tiene que:

y216y + 36 = 0

Aplicando el método general, las raíces de esta ecuación son y1 = 4 e y2 = 9. Así, la variable x puede tomar cuatro valores: +2 y –2 (raíces cuadradas de 4) y +3 y –3 (raíces cuadradas de 9).

Inecuaciones

Si las ecuaciones se pueden definir como una serie de coeficientes numéricos y variables que se relacionan entre sí mediante un signo de igualdad, las expresiones matemáticas que relacionan dos expresiones algebraicas mediante una desigualdad reciben el nombre de inecuaciones. Los signos de desigualdad utilizados son <, >, y . Son inecuaciones, por ejemplo, las expresiones siguientes:

3x2 + 1 < 9

x + 2 5

3y34xy 12x2 + 9

La resolución de inecuaciones se basa en las mismas técnicas que en el caso de las ecuaciones. Así, al sumar o restar una misma expresión algebraica a ambos miembros se obtiene una inecuación equivalente. También es equivalente si se multiplican los dos miembros por un número positivo; sin embargo, si se multiplican por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia de signo (de mayor a menor o a la inversa).

Por tanto, el objetivo al resolver inecuaciones es operar hasta obtener la inecuación equivalente más sencilla. Si la inecuación es de primer grado, se puede despejar la incógnita en uno de los miembros y obtener de forma directa el intervalo de valores de la variable para los que se cumple la inecuación. Por ejemplo:

3(x + 2) < 5x – 4 3x + 6 < 5x – 4 3x – 5x < –4 6 2x < –10

Si se multiplican ambos miembros por –1/2, la desigualdad cambia de signo y se obtiene como solución x > 5. Es decir, la solución de la inecuación comprende todos los números estrictamente mayores que 5.

Sistemas de ecuaciones

Cuando en una ecuación de primer grado se tiene dos incógnitas diferentes, denotadas por x e y, se dice que se trata de una ecuación lineal, ya que al despejar una incógnita en función de la otra se obtiene una expresión del tipo y = ax + b. Según lo anterior, con una ecuación y dos incógnitas se obtienen infinitas soluciones.

El conjunto de varias de las expresiones anteriores se denomina sistema de ecuaciones. Así, resolver un sistema semejante significa encontrar todos los valores de las variables que cumplen cada una de las ecuaciones que lo componen.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas podría representarse genéricamente como:

ax + by = e

cx + dy = f

donde a, b, c y d son los coeficientes de las incógnitas del sistema, y e y fson los términos independientes. Los sistemas de ecuaciones que poseen estas características pueden ser de varios tipos:

  • Compatibles determinados, cuando existe una única solución, un par de valores de x e y para los cuales se verifican las ecuaciones.

  • Compatibles indeterminados, cuando poseen infinitas soluciones.

  • Incompatibles, cuando no tiene solución, pues ningún valor de las incógnitas cumple las ecuaciones.

Desde un punto de vista gráfico, las ecuaciones lineales pueden representarse en un sistema de ejes cartesianos en forma de rectas. La interpretación gráfica de lo anterior supone que las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son los puntos de intersección entre sus rectas representativas. En un sistema incompatible, las rectas del sistema son paralelas; en uno compatible indeterminado se obtienen rectas que coinciden de manera que todos sus puntos son comunes. Cuando las rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, con una solución única.

Resolución de sistemas de ecuaciones

La resolución de los sistemas de ecuaciones lineales se basa en una estrategia sencilla: elegir ecuaciones equivalentes a las originales del sistema de forma que se obtenga una configuración del mismo más fácil de resolver. Los tres métodos principales aplicados, que son equivalentes y cuya elección depende de las preferencias del matemático en cada caso, se denominan de sustitución, igualación y reducción. Para explicarlos, en las páginas siguientes se tomará como ejemplo un mismo sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

x + 2y = 4

2x – y = –1

Método de sustitución. Este método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y reemplazar este valor en la otra. En el sistema de ecuaciones del ejemplo, se despeja x en la primera ecuación, con lo que:

x = 4 – 2y

y se sustituye en la segunda:

Recuperando el valor despejado de x:

Método de igualación. El principio del método de igualación es muy simple: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y después se igualan los segundos miembros de las mismas. En el ejemplo, se ha optado por despejar la x:

x = 42y

Igualando las dos expresiones, se tiene que:

Es inmediato concluir que, también en este caso, x = 2/5, obtenido de cualquiera de las dos anteriores expresiones.

Método de reducción. En este procedimiento, se transforman una o varias ecuaciones del sistema hasta que el coeficiente que multiplica a una de las incógnitas sea el mismo. Entonces, se restan las ecuaciones entre sí. En el ejemplo, multiplicando la primera de las ecuaciones por 2 se tiene que:

2x + 4y = 8

2x – y = –1

Restando ambas ecuaciones:

El valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones. Por ejemplo: